Question

8．f（x）=e^x-ax（a＞1），試討論f（x）在[0，a]上的最大值．

Answer 1

分析 求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，得到導(dǎo)函數(shù)的零點lna，再由函數(shù)M（a）=a-lna的單調(diào)性可得lna＜a，說明當(dāng)x∈（0，lna）時，f′（x）＜0，f（x）在（0，lna）上單調(diào)遞減，當(dāng)x∈（lna，a）時，f′（x）＞0，f（x）在（lna，a）上單調(diào)遞增，可得f（x）在[0，a]上的最大值為max{f（0），f（a）}，由h（a）=f（a）-f（0）=e^a-a²-1（a＞1），利用導(dǎo)數(shù)得到f（a）＞f（0），從而得到f（x）在[0，a]上的最大值為f（a）．

解答 解：∵f（x）=e^x-ax，
∴f′（x）=e^x-a，
令f′（x）=0，得x=lna＞0，
當(dāng)a＞1時，設(shè)M（a）=a-lna，
∵M′（a）=1-$\frac{1}{a}$=$\frac{a-1}{a}$＞0，
∴M（a）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，且M（1）=1，
∴M（a）=a-lna＞0在（1，+∞）上恒成立，即a＞lna，
∴當(dāng)x∈（0，lna）時，f′（x）＜0，f（x）在（0，lna）上單調(diào)遞減，
當(dāng)x∈（lna，a）時，f′（x）＞0，f（x）在（lna，a）上單調(diào)遞增，
∴f（x）在[0，a]上的最大值為max{f（0），f（a）}，
∵f（0）=1，f（a）=e^a-a²，
不妨設(shè)h（a）=f（a）-f（0）=e^a-a²-1（a＞1），
∴h′（a）=e^a-2a，令φ（a）=h′（a）=e^a-2a，
則φ′（a）=e^a-2＞0（a＞1），∴φ（a）=h′（a）＞φ（1）=e-2＞0，
∴h（a）=f（a）-f（0）=e^a-a²-1（a＞1）單調(diào)遞增，
則h（a）＞h（1）=e-2＞0，即f（a）＞f（0），
∴f（x）在[0，a]上的最大值為f（a）=e^a-a²．

點評 本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，靈活構(gòu)造函數(shù)是解答該題的關(guān)鍵，屬難題．