Question

1．已知集合A=（-∞，-1）∪（3，+∞），B={x|x²-4x+a=0，a∈R}．
（Ⅰ）若A∩B≠∅，求a的取值范圍；
（Ⅱ）若A∩B=B，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 構造函數令f（x）=x²-4x+a=（x-2）²+a-4，則對稱軸為x=2，
（Ⅰ）由題意得B≠∅，并有A∩B≠∅，即可求出a的范圍，
（Ⅱ）A∩B=B，則B⊆A，分類討論，即可求出a的范圍．

解答 解：令f（x）=x²-4x+a=（x-2）²+a-4，則對稱軸為x=2，
（Ⅰ）由題意得B≠∅，∴△=16-4a≥0，解得a≤4…①
∵A∩B≠∅，又∵A=（-∞，-1）∪（3，+∞），
∴f（3）＜0，解得a＜3…②，
由①②得，實數a的取值范圍為（-∞，3）．
（Ⅱ）∵A∩B=B，
∴B⊆A，當△=16-4a＜0，即a＞4時，B=∅，這時滿足A∩B=B，
當△=16-4a≥0時，B≠∅，此時a≤4…③，
∵B⊆A，
∴f（-1）＜0，解得a＜-5…④，
由③④，得a＜-5．
綜上所述，得實數a的取值范圍為（-∞，-5）∪[4，+∞）．

點評 本題考查集合的化簡與運算，考查分類討論的數學思想，考查學生的計算能力，屬于中檔題．