Question

10．經(jīng)過(guò)雙曲線$\frac{x^2}{a^2}$-$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的右焦點(diǎn)為F作該雙曲線一條漸近線的垂線與兩條漸近線相較于M，N兩點(diǎn)，若O為坐標(biāo)原點(diǎn)，△OMN的面積是$\frac{2}{3}$a²，則該雙曲線的離心率是$\frac{\sqrt{5}}{2}$．

Answer 1

分析 求出雙曲線的漸近線方程，設(shè)兩條漸近線的夾角為θ，由兩直線的夾角公式，可得tanθ=tan∠MON，求出F到漸近線y=$\frac{a}$x的距離為b，即有|ON|=a，△OMN的面積可以表示為$\frac{1}{2}$•a•atanθ，結(jié)合條件可得a，b的關(guān)系，再由離心率公式即可計(jì)算得到．

解答 解：雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的漸近線方程為y=±$\frac{a}$x，
設(shè)兩條漸近線的夾角為θ，
則|tanθ|=tan∠MON=$\frac{\frac{a}-（-\frac{a}）}{1+\frac{a}•（-\frac{a}）}$=$\frac{2ab}{{a}^{2}-^{2}}$，
設(shè)FN⊥ON，則F到漸近線y=$\frac{a}$x的距離為d=$\frac{|bc|}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}$=b，
即有|ON|=$\sqrt{{c}^{2}-^{2}}$=a，
則△OMN的面積可以表示為$\frac{1}{2}$•a•a|tanθ|=$\frac{{a}^{3}b}{{a}^{2}-^{2}}$=$\frac{2{a}^{2}}{3}$，
解得a=2b，
則e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{\frac{{a}^{2}+^{2}}{{a}^{2}}}$=$\sqrt{1+\frac{^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{5}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的方程和性質(zhì)，主要考查離心率的求法，同時(shí)考查兩直線的夾角公式和三角形的面積公式，結(jié)合著較大的運(yùn)算量，屬于中檔題．