Question

12．已知函數(shù)f（x）=lnx，g（x）=kx²-ax，其中k，a為實數(shù)．
（1）若k=1，a=0，求方程f（x）+g（x）=0的零點個數(shù)；
（2）若a=0，實數(shù)k使得f（x）＜g（x）恒成立，求k的取值范圍；
（3）若k=1，試討論函數(shù)h（x）=|g（x）|-f（x）的單調(diào)性．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的零點定理求出F（x）=0 僅有一個零點；
（2）問題轉(zhuǎn)化為k＞$\frac{lnx}{{x}^{2}}$ 在x＞0 時恒成立，則$k＞{（\frac{lnx}{x^2}）_{max}}$，記$G（x）=\frac{lnx}{x^2}，（x＞0）$，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出k的范圍即可；
（3）通過討論a的范圍，求出h（x）的解析式，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，從而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可．

解答 解：（1）k=1，a=0，則f（x）+g（x）=lnx+x²，
記F（x）=lnx+x²，
因為F（x） 在（0，+∞） 上單調(diào)遞增，
$F（\frac{1}{e}）=ln\frac{1}{e}+\frac{1}{e^2}=-1+\frac{1}{e^2}＜0$，F(xiàn)（1）=1＞0，
所以F（x）=0 僅有一個零點${x_0}∈（\frac{1}{e}，1）$，
即方程f（x）+g（x）=0 的零點個數(shù)為1．
（2）由a=0，實數(shù)k 使得f（x）＜g（x） 恒成立，
可得k＞$\frac{lnx}{{x}^{2}}$在x＞0 時恒成立，則$k＞{（\frac{lnx}{x^2}）_{max}}$，
記$G（x）=\frac{lnx}{x^2}，（x＞0）$，$G'（x）=\frac{1-2lnx}{x^3}$，
當(dāng)$x∈（0，\sqrt{e}），G'（x）＞0$，G（x） 在$（0，\sqrt{e}）$ 上單調(diào)遞增，
當(dāng)$x∈（\sqrt{e}，+∞），G'（x）＜0$，G（x） 在$（\sqrt{e}，+∞）$ 上單調(diào)遞減，
則$x=\sqrt{e}$ 時，G（x） 取得最大值$\frac{1}{2e}$，
故k 的取值范圍是$（\frac{1}{2e}，+∞）$．
（3）k=1，h（x）=|x²-ax|-lnx，（x＞0），
若a≤0，則h（x）=x²-ax-lnx，
故$h'（x）=2x-a-\frac{1}{x}=\frac{{2{x^2}-ax-1}}{x}$，
令h'（x）=0，得$x=\frac{{a±\sqrt{{a^2}+8}}}{4}$，（負值舍去），
記$b=\frac{{a+\sqrt{{a^2}+8}}}{4}$，
于是，h（x） 在區(qū)間（0，b） 上單調(diào)遞減，
在區(qū)間（b，+∞） 上單調(diào)遞增；         
若a＞0，先討論h（x）=x²-ax-lnx（x≥a） 的單調(diào)性，
由$h'（x）=2x-a-\frac{1}{x}=\frac{{2{x^2}-ax-1}}{x}$，
令h'（x）=0，得$x=\frac{{a+\sqrt{{a^2}+8}}}{4}＞0$，
當(dāng)b＞a，即a＜1 時，h（x） 在區(qū)間（a，b） 上單調(diào)遞減，
在區(qū)間（b，+∞） 上單調(diào)遞增；
當(dāng)b≤a，即a≥1時，h（x） 在區(qū)間（a，+∞） 上單調(diào)遞增；                    
再討論h（x）=-x²+ax-lnx（0＜x＜a） 的單調(diào)性，
注意到$h'（x）=-2x+a-\frac{1}{x}=\frac{{-2{x^2}+ax-1}}{x}$ 
當(dāng)△=a²-8≤0 時，即0＜a≤2$\sqrt{2}$時，h'（x）≤0 
h（x） 在區(qū)間（0，a） 上單調(diào)遞減．
當(dāng)△=a²-8＞0 時，即$a＞2\sqrt{2}$ 時，令h'（x）=0，得$x=\frac{{a±\sqrt{{a^2}+8}}}{4}＜a$，
則h（x） 在區(qū)間$（0，\frac{{a-\sqrt{{a^2}+8}}}{4}），（\frac{{a+\sqrt{{a^2}+8}}}{4}，a）$ 上單調(diào)遞減，
在區(qū)間$（\frac{{a-\sqrt{{a^2}+8}}}{4}，\frac{{a+\sqrt{{a^2}+8}}}{4}）$ 上單調(diào)遞增；                          
綜上，當(dāng)a＜1 時，h（x） 在區(qū)間$（0，\frac{{a+\sqrt{{a^2}+8}}}{4}）$ 
上單調(diào)遞減，在區(qū)間$（\frac{{a+\sqrt{{a^2}+4}}}{4}，+∞）$ 上單調(diào)遞增；
當(dāng)1≤a≤2$\sqrt{2}$時，h（x） 在區(qū)間（0，a） 上單調(diào)遞減，在區(qū)間（a，+∞） 上單調(diào)遞增；
當(dāng)$a＞2\sqrt{2}$ 時，則h（x） 在區(qū)間$（0，\frac{{a-\sqrt{{a^2}+8}}}{4}），（\frac{{a+\sqrt{{a^2}+8}}}{4}，a）$ 上單調(diào)遞減，
在區(qū)間$（\frac{{a-\sqrt{{a^2}+8}}}{4}，\frac{{a+\sqrt{{a^2}+8}}}{4}）$ 上單調(diào)遞增．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想，轉(zhuǎn)化思想，是一道綜合題．