Question

已知動圓過定點且與直線相切，圓心的軌跡為曲線

   （I）求軌跡的方程；

   （Ⅱ）①過定點作互相垂直的直線分別交軌跡于點和點，求四邊形面積的最小值；

         ②定點，動點是軌跡上的三個點，且滿足試問所在的直線是否過定點，若是，求出該定點的坐標；否則說明理由

 

Answer 1

解：（1）由題意：為點M的軌跡方程。

   （2）由題易知直線l1，l2的斜率都存在，且不為0，

   不妨設(shè)，MN方程為y=k(x-2)與y2=8x聯(lián)立得：

    k2x2-(4k2+8)x+4k2=0，設(shè)

       ∴

由拋物線定義知：|MN|=|MF|+|NF|

       同理RQ的方程為

       ∴

       當且僅當k2=1，k=±1時取“=”，故四邊形MRNQ的面積的最小值為128.

   （3）設(shè)

       ········（※）

      

       則，與（※）比較可知，直線AB過定點（1，-4）

      

法2：

       設(shè)聯(lián)立得：由△＞0得2m2＞b。

       設(shè)y1+y2=8m，y1·y2=8b，又由kPA·kPB=8

       即

       ∴4m+b+1=0

       ∴l(xiāng)AB：my=x-4m-1即m(y+4)=x-1，∴直線AB過定點（1，-4）