Question

已知f(x)=

1

2

sin(x-

π

4

)(0≤x≤π)，求使f（x）≤cosα恒成立的α的范圍．

Answer 1

考點：正弦函數(shù)的對稱性

專題：計算題,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：依題意，當x∈[0，π]時，x-

π

4

∈[-

π

4

，

3π

4

]，利用正弦函數(shù)的單調(diào)性可求得f（x）_max=

1

2

，解不等式cosα≥

1

2

即可求得α的取值范圍．

解答： 解：∵x∈[0，π]，
∴x-

π

4

∈[-

π

4

，

3π

4

]，
∴sin（x-

π

4

）∈[-

2

2

，1]，
∴f（x）=

1

2

sin（x-

π

4

）的最大值為

1

2

，
即f（x）_max=

1

2

，
∵cosα≥f（x）恒成立，
∴cosα≥f（x）_max=

1

2

，
∴2kπ-

π

3

≤α≤2kπ+

π

3

（k∈Z），
∴使f（x）≤cosα恒成立的α的范圍為[2kπ-

π

3

，2kπ+

π

3

]（k∈Z）．

點評：本題考查正弦函數(shù)與余弦函數(shù)的單調(diào)性，考查恒成立問題，考查分析、轉(zhuǎn)化與運算能力，屬于中檔題．