Question

如圖，平面四邊形ABCD中，AB=BC=CD=a，∠B=90°，∠BCD=135°，沿對(duì)角線AC將△ABC折起，使平面ABC與平面ACD互相垂直．
（1）求證：AB⊥CD；
（2）在BD上是否存在一點(diǎn)P，使CP⊥平面ABD，證明你的結(jié)論；
（3）求點(diǎn)C到平面ABD的距離．

Answer 1

考點(diǎn)：點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算,空間中直線與直線之間的位置關(guān)系

專題：計(jì)算題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）通過證明CD⊥平面ABC，然后證明AB⊥CD；
（2）存在，P為BD中點(diǎn)，使CP⊥平面ABD，證明AB⊥平面BCD，AB⊥CP，利用AB∩BD=B，AB?平面ABD，BD?平面ABD，即可CP⊥平面ABD；
（3）利用CP⊥平面ABD，通過解三角形即可點(diǎn)C到平面ABD的距離．
法二，利用等體積方法，求出點(diǎn)C到平面ABD的距離．

解答： （1）證明：∵AB=BC，∠B=90°即AB⊥BC∴∠ACD=90°即CD⊥AC，
又∵平面ABC⊥平面ACD，
平面ABC∩平面ACD=AC，CD?平面ACD∴CD⊥平面ABC…（3分）
∵AB?平面ABC，∴CD⊥AB…（4分）
（2）存在，P為BD中點(diǎn)．…（6分）
證明：∵BC=CD，∴CP⊥BD，…（7分）
由（1）知，CD⊥AB
又∵AB⊥BC
BC∩CD=C，
BC?平面BCD，
CD?平面BCD，
∴AB⊥平面BCD                    …（8分）
又∵CP?平面BCD∴AB⊥CP，…（10分）
∵AB∩BD=B，AB?平面ABD，BD?平面ABD，
∴CP⊥平面ABD                   …（12分）
（3）由（1）知，CD⊥平面ABC
又∵BC?平面ABC∴CD⊥BC…（14分）
又∵BC=CD=a，P為BD中點(diǎn)∴CP=

2

2

a
由（2）知，CP⊥平面ABD∴點(diǎn)C到平面ABD的距離即CP的長，為

2

2

a…（16分）
（證法二）∵AB⊥平面BCD，BD?平面BCD，
∴AB⊥BD，BD=

AD2-AB2

=

2

a，
∴S△ABD=

1

2

AB•BD=

2

2

a2，…（13分）
∵CD⊥平面ABC，…（14分）
∴VD-ABC=

1

3

CD•S△ABC=

1

6

a3．
設(shè)點(diǎn)C到平面ABD的距離為h，則VC-ABD=

1

3

h•S△ABD=

2

6

a2，
所以h=

2

2

a．…（16分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面的垂直的判斷，直線與平面所成的角的大小，點(diǎn)到平面的距離的距離的求法，考查空間想象能力以及計(jì)算能力．