Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）有兩個頂點在直線x+2y-2=0上
（1）求橢圓C的方程；
（2）當直線l：y=x+m與橢圓C相交時，求m的取值范圍；
（3）設(shè)直線l：y=x+m與橢圓C交于A，B兩點，O為坐標原點，若以為AB直徑的圓過原點，求m的值．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的關(guān)系,橢圓的標準方程

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）求出直線x+2y-2=0與坐標軸的交點，可得橢圓的a，b的值，即可得出橢圓C的方程；
（2）直線y=x+m代入橢圓方程，消去y整理，根據(jù)直線l：y=x+m與橢圓C相交，可得△＞0，即可求出m的取值范圍；
（3）以為AB直徑的圓過原點，等價于

OA

⊥

OB

，可得

OA

•

OB

=0，即x₁x₂+y₁y₂=0，結(jié)合韋達定理可得結(jié)論．

解答： 解：（1）直線x+2y-2=0與坐標軸交于兩點（2，0），（0，1），
∴a=2，b=1，
∴橢圓C的方程為

x2

4

+y2=1；
（2）直線y=x+m代入橢圓方程，消去y整理得：5x²+8mx+4m²-4=0，
∵直線l：y=x+m與橢圓C相交，
∴△=（8m）²-4×5×（4m²-4）＞0，
即-16m²+80＞0，解得-

5

＜m＜

5

．
（3）設(shè)A，B兩點的坐標分別為（x₁，y₁）、（x₂，y₂），
由（2）得x₁+x₂=-

8m

5

，x₁x₂=

4m2-4

5

，
∵以為AB直徑的圓過原點，
∴

OA

⊥

OB

，
∴

OA

•

OB

=0，
∴x₁x₂+y₁y₂=0，
∴2x₁x₂+m（x₁+x₂）+m²=0，
即2•

4m2-4

5

-

8m2

5

+m²=0，
解得m=±

2

5

10

．

點評：本題考查橢圓的標準方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達定理，考查學(xué)生的計算能力，正確運用韋達定理是關(guān)鍵．