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20.已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω,0,|φ|<π),在同一周期內(nèi),當(dāng)x=π12時(shí),f(x)取得最大值3;當(dāng)x=712π時(shí),f(x)取得最小值-3.
(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的解析式;
(Ⅱ)若x∈[-π3π6]時(shí),方程2f(x)+1-m=0有兩個(gè)根,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

分析 (1)由函數(shù)的最值求出A,由周期求出ω,由五點(diǎn)法作圖求出φ的值,可得函數(shù)的解析式.
(2)sin(2x+π3)=m16在[-π3π6]上有兩個(gè)根,再利用正弦函數(shù)的圖象求得m的范圍.

解答 解:(1)∵f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω,0,|φ|<π),在同一周期內(nèi),當(dāng)x=π12時(shí),f(x)取得最大值3;
當(dāng)x=7π12π時(shí),f(x)取得最小值-3.∴A=3,T2=πω=7π12-π12,∴ω=2.
又∵函數(shù)在同一周期內(nèi),當(dāng)x=π12時(shí),f(x)取得最大值3.
∴2×π12+φ=π2+2kπ,(k∈Z)解得 φ=2kπ+π3,(k∈Z),
又∵|φ|<π,∴φ=π3,∴f(x)=3sin(2x+π3).
(2)∵在x∈[-π3,π6]時(shí),∴2f(x)+1-m=0有兩個(gè)根,∴sin(2x+π3)=m16在[-π3π6]上有兩個(gè)根,
∵x∈[-π3π6],∴2x+π3∈[-π32π3],∴32m16<1,
∴結(jié)合函數(shù)圖象,有2f(x)+1在[-π3,π6]上能取兩根的范圍是[33+1,7),
∴m∈[33+1,7).

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查由函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的部分圖象求解析式,由函數(shù)的最值求出A,由周期求出ω,由五點(diǎn)法作圖求出φ的值;還考查了方程根的存在性以及個(gè)數(shù)判斷,屬于中檔題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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