Question

【題目】過橢圓W：的左焦點(diǎn)F1作直線l1交橢圓于A，B兩點(diǎn)，其中A(0，1)，另一條過F1的直線l2交橢圓于C，D兩點(diǎn)（不與A，B重合），且D點(diǎn)不與點(diǎn)0，﹣1重合．過F1作x軸的垂線分別交直線AD，BC于E，G．

（1）求B點(diǎn)坐標(biāo)和直線l1的方程；

（2）比較線段EF1和線段GF1的長度關(guān)系并給出證明．

Answer 1

【答案】（1），（2）

【解析】

（1）由題意得橢圓的左焦點(diǎn)，根據(jù)兩點(diǎn)式可得直線的方程，然后通過解方程組可得點(diǎn)坐標(biāo)．（2）當(dāng)與軸垂直時(shí)易得．當(dāng)不與軸垂直時(shí)，設(shè)的方程為，與橢圓方程聯(lián)立消元后可得，，求出直線的方程后可得點(diǎn)的縱坐標(biāo)和點(diǎn)G的縱坐標(biāo)，計(jì)算可得，于是．

（1）由題意可得橢圓的左焦點(diǎn)，

所以直線的方程為，即．

由，解得或，

所以點(diǎn)．

（2）①當(dāng)與軸垂直時(shí)，，兩點(diǎn)與，兩點(diǎn)重合，由橢圓的對(duì)稱性，．

②當(dāng)不與軸垂直時(shí)，設(shè)的方程為，

由消去整理得，

顯然．

設(shè)，，則，．

由已知得，

所以直線的方程為，

令，得點(diǎn)的縱坐標(biāo)，

把代入上式得．

由已知得，

所以直線BC的方程為，

令，得點(diǎn)G的縱坐標(biāo)．

把代入上式得．

所以

，

又，

即，

即．