Question

16．對于函數(shù)y=f（x），若其定義域內(nèi)存在不同實(shí)數(shù)x₁，x₂，使得x_if（x_i）=1（i=1，2）成立，則稱函數(shù)f（x）具有性質(zhì)P，若函數(shù)f（x）=$\frac{{e}^{x}}{a}$具有性質(zhì)P，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為$（-\frac{1}{e}，0）$．

Answer 1

分析 由題意將條件轉(zhuǎn)化為：方程xe^x=a在R上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，設(shè)g（x）=xe^x并求出g′（x），由導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，判斷出g（x）在定義域上的單調(diào)性，求出g（x）的最小值，結(jié)合g（x）的單調(diào)性、最值、函數(shù)值的范圍畫出大致的圖象，由圖象求出實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答 解：由題意知：若f（x）具有性質(zhì)P，
則在定義域內(nèi)xf（x）=1有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，
∵$f（x）=\frac{{e}^{x}}{a}$，∴$x•\frac{{e}^{x}}{a}=1$，
即方程xe^x=a在R上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，
設(shè)g（x）=xe^x，則g′（x）=e^x+xe^x=（1+x）e^x，
由g′（x）=0得，x=-1，
∴g（x）在（-∞，-1）上遞減，在（-1，+∞）上遞增，
∴當(dāng)x=-1時(shí)，g（x）取到最小值是g（-1）=$-\frac{1}{e}$，
∵x＜0，g（x）＜0、x＞0，g（x）＞0，
∴當(dāng)方程xe^x=a在R上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根時(shí)，
即函數(shù)g（x）與y=a的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，
由圖得$-\frac{1}{e}＜a＜0$，
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍為$（-\frac{1}{e}，0）$，
故答案為：$（-\frac{1}{e}，0）$．

點(diǎn)評(píng) 本題是新定義題，考查導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，方程根的問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題，以及轉(zhuǎn)化思想，數(shù)形結(jié)合思想，考查分析問題、解決問題的能力．