Question

4．已知A為雙曲線C：$\frac{x^2}{a^2}$-$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的右頂點(diǎn)，B₁，B₂分別為虛軸的兩個端點(diǎn)，F(xiàn)為右焦點(diǎn)．若B₂F⊥AB₁，則雙曲線C的離心率是$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$．

Answer 1

分析 雙曲線C：$\frac{x^2}{a^2}$-$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）可得A、F、B₁和B₂各點(diǎn)的坐標(biāo)，B₂F⊥AB₁，利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)公式得到ac-b²=0，結(jié)合b²=c²-a²和離心率公式，化簡得離心率e的方程，即可解出該雙曲線的離心率．

解答 解：由題意，雙曲線C：$\frac{x^2}{a^2}$-$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）可得A（a，0），F(xiàn)（c，0），B₁（0，b），B₂（0，-b）
∵$\overrightarrow{A{B}_{1}}$=（-a，b），$\overrightarrow{{B}_{2}F}$=（c，b）
∴由$\overrightarrow{A{B}_{1}}$⊥$\overrightarrow{{B}_{2}F}$得$\overrightarrow{A{B}_{1}}$•$\overrightarrow{{B}_{2}F}$=0，即-ac+b²=0
可得b²=ac，即c²-ac-a²=0，兩邊都除以a²可得e²-e-1=0
解之得e=$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$（舍負(fù)）
故答案為：$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$．

點(diǎn)評 本題給出雙曲線方程，在已知向量垂直的情況下求離心率．著重考查了平面向量數(shù)量積公式和雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程與簡單幾何性質(zhì)等知識，屬于中檔題．