Question

8．在△ABC中，a、b、c分別是角A、B、C的對邊，且A=30°，a=1．現(xiàn)在給出下列四個條件：①B=45°；②b=2sinB；③c=$\sqrt{3}$；④2c-$\sqrt{3}$b=0； 若從中選擇一個條件就可以確定唯一△ABC，則可以選擇的條件是（　�。�

• A． ①或②
• B． ②或③
• C． ③或④
• D． ④或①

Answer 1

分析 對于①，由正弦定理可得b，利用三角形內(nèi)角和定理可求C，滿足條件的三角形有1個；
對于②，由正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)可知當$\frac{1}{2}＜sinB＜1$時，B有兩解，滿足條件的三角形有2個；
對于③，由正弦定理可得sinC，結合范圍可求C的值有兩解，故不正確；
對于④，利用余弦定理即可整理解得唯一確定的c，b，滿足條件的三角形有1個．

解答 解：∵A=$\frac{π}{6}$，a=1．
對于：①B=$\frac{π}{4}$，由正弦定理可得：b=$\frac{asinB}{sinA}$=$\sqrt{2}$，C=π-A-B=$\frac{7π}{12}$，滿足條件的三角形有1個，故正確；
對于：②b=2sinB，B∈（0，$\frac{5π}{6}$），由正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)可知當$\frac{1}{2}＜sinB＜1$時，即，1＜b＜2時，B有兩解，滿足條件的三角形有2個，故不正確；
對于：③c=$\sqrt{3}$，由正弦定理可得：sinC=$\frac{csinA}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，由C∈（0，$\frac{5π}{6}$），可得：C=$\frac{π}{3}$或$\frac{2π}{3}$，滿足條件的三角形有2個，故不正確；
對于：④2c-$\sqrt{3}$b=0，可得：b=$\frac{2c}{\sqrt{3}}$，由余弦定理可得：1=（$\frac{2c}{\sqrt{3}}$）²+c²-$\sqrt{3}$×$\frac{2c}{\sqrt{3}}$×c，整理解得：c=$\sqrt{3}$，b=2，滿足條件的三角形有1個，故正確；
故選：D．

點評 本題主要考查了正弦定理，三角形內(nèi)角和定理，兩角和的正弦函數(shù)公式，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)在解三角形中的應用，考查了計算能力和轉化思想，屬于中檔題．