Question

9．如圖，ABCD-A₁B₁C₁D₁是正四棱柱．
（Ⅰ）求證：BD⊥平面ACC₁A₁；
（Ⅱ）若C₁C=$\frac{\sqrt{6}}{2}$AB，求二面角C₁-BD-C的大小．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推導(dǎo)出BD⊥CC₁，BD⊥AC，由此能證明BD⊥平面ACC₁A₁．
（Ⅱ）設(shè)AC∩BD=O，連結(jié)OC₁，則∠C₁OC是二面角C₁-BD-C的平面角，由此能求出二面角C₁-BD-C的大�。�

解答 證明：（Ⅰ）∵ABCD-A₁B₁C₁D₁是正四棱柱，
∴CC₁⊥平面ABCD，
∵BD?平面ABCD，∴BD⊥CC₁，
∵四邊形ABCD是正方形，∴BD⊥AC，
∵AC∩CC₁=C，∴BD⊥平面ACC₁A₁．
解：（Ⅱ）設(shè)AC∩BD=O，連結(jié)OC₁，
設(shè)C₁C=$\frac{\sqrt{6}}{2}$AB=$\sqrt{6}$，則DC₁=BC₁=$\sqrt{{2}^{2}+（\sqrt{6}）^{2}}$=$\sqrt{10}$，
∵ABCD是正方形，∴O是BD中點，∴C₁O⊥BD，CO⊥BD，
∴∠C₁OC是二面角C₁-BD-C的平面角，
∵CO=$\frac{1}{2}AC$=$\frac{1}{2}\sqrt{{2}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{2}$，C₁O=$\sqrt{（\sqrt{10}）^{2}-（\sqrt{2}）^{2}}$=2$\sqrt{2}$，
∴tan∠C₁OC=$\frac{{C}_{1}C}{OC}=\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{2}}=\sqrt{3}$，∴∠C₁OC=60°．
∴二面角C₁-BD-C的大小為60°．

點評 本題考查二面角的大小的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．