Question

19．已知函數(shù)f（x）=lnx-ax+a，a∈R．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（2）若函數(shù)f（x）在區(qū)間（1，e]上無(wú)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過(guò)討論a的范圍，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的遞增區(qū)間即可；
（2）通過(guò)討論a的范圍，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，判斷函數(shù)在（1，e]有無(wú)零點(diǎn)即可．

解答 解：（1）f（x）的定義域是（0，+∞），
f′（x）=$\frac{1}{x}$-a=$\frac{1-ax}{x}$，
a＞0時(shí)，由f′（x）＞0，解得：0＜x＜$\frac{1}{a}$，
a≤0時(shí)，在（0，+∞）內(nèi)，f′（x）＞0恒成立，
綜上，a＞0時(shí)，f（x）在（0，$\frac{1}{a}$）遞增，
a≤0時(shí)，f（x）在（0，+∞））遞增；
（2）a≤0時(shí)，由（1）得f（x）在（0，+∞）遞增，
∵f（1）=0，∴此時(shí)函數(shù)在（1，e]上無(wú)零點(diǎn)，符合題意，
0＜$\frac{1}{a}$≤1即a≥1時(shí)，由（1）知f（x）在（1，e]遞減，
∵f（1）=0，得：a≥1時(shí)，函數(shù)在（1，e]上無(wú)零點(diǎn)，符合題意，
$\frac{1}{a}$＞1即0＜a＜1時(shí)，若f（x）在（1，e]無(wú)零點(diǎn)，由f（1）=0，
結(jié)合（1）中函數(shù)的單調(diào)性可得，只需f（e）＞0，即a＜$\frac{1}{e-1}$，
此時(shí)，0＜a＜$\frac{1}{e-1}$，
綜上，a的范圍是（-∞，$\frac{1}{e-1}$）∪[1，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了根據(jù)導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題，考查分類(lèi)討論、轉(zhuǎn)化思想以及運(yùn)算的能力．