Question

6．已知等差數(shù)列{a_n}中，公差d≠0，a₁=2，且a₁，a₃，a₉成等比數(shù)列．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）數(shù)列{b_n}滿足${b_n}={2^{a_n}}+1$，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和s_n．

Answer 1

分析 （1）運(yùn)用等比數(shù)列的中項(xiàng)的性質(zhì)，結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，解方程可得d，進(jìn)而得到所求通項(xiàng)公式；
（2）求得${b_n}={2^{a_n}}+1$=2²ⁿ+1=4ⁿ+1，再由數(shù)列的求和方法：分組求和，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式，計(jì)算即可得到所求和．

解答 解：（1）等差數(shù)列{a_n}中，公差d≠0，a₁=2，且a₁，a₃，a₉成等比數(shù)列，
可得a₃²=a₁a₉，
即有（2+2d）²=2（2+8d），
解得d=2（0舍去），
則數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n=2+2（n-1）=2n；
（2）滿足${b_n}={2^{a_n}}+1$=2²ⁿ+1=4ⁿ+1，
即有前n項(xiàng)和s_n=（4+16+…+4ⁿ）+n
=$\frac{4（1-{4}^{n}）}{1-4}$+n，
故數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和${s_n}=\frac{4}{3}（{4^n}-1）+n$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和等比數(shù)列的中項(xiàng)的性質(zhì)，以及等比數(shù)列的求和公式的運(yùn)用，考查數(shù)列的求和方法：分組求和，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．