Question

已知定點F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0），曲線E是以原點為頂點、F₂為焦點且離心率為1的圓錐曲線，橢圓C與曲線E的交點為A，B，且點A到點F₁，F(xiàn)₂的距離之和為4．
（1）求橢圓C和曲線E的方程；
（2）在橢圓C和曲線E上是否存在這樣的點P，使得△PAB的面積為

8 6

9

？若存在，求出所有滿足條件的點P的坐標；若不存在，說明理由；
（3）若平行于x軸的直線分別與橢圓C和曲線E交于M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）兩點，且x₁＞x₂，求△MNF₂的周長t的取值范圍．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由已知得曲線E是以F₂（1，0）的拋物線，從而求出曲線E的方程為y²=4x．橢圓C的焦點坐標是F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0），且長軸長2a=4，由此能求出橢圓C的標準方程為

x2

4

+

y2

3

=1．
（2）聯(lián)立

y2=4x x2 4 + y2 3 =1

，得3x²+16x-12=0，求出x₁，由此根據(jù)已知條件能求出滿足條件的點P的坐標．
（3）設(shè)直線MN為y=a（-

3

＜a＜

3

），聯(lián)立

y=a x 2 4 + y2 3 =1

，得x1=2

1- a2 3

，聯(lián)立

y=a y2=4x

，得x2=

a2

4

，△MNF₂的周長t=x1-x2+

y12+(x1-1)2

+

y22+(1-x2)2

，由此能求出△MNF₂的周長t的取值范圍．

解答： 解：（1）∵F₂（1，0），曲線E是以原點為頂點、F₂為焦點且離心率為1的圓錐曲線，
∴曲線E是以F₂（1，0）的拋物線，
∴曲線E的方程為y²=4x．
∵F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0），橢圓C與曲線E的交點為A，B，
且點A到點F₁，F(xiàn)₂的距離之和為4，
∴橢圓C的焦點坐標是F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0），且長軸長2a=4，
∴a=2，c=1，b²=4-1=3，
∴橢圓C的標準方程為

x2

4

+

y2

3

=1．
（2）聯(lián)立

y2=4x x2 4 + y2 3 =1

，得3x²+16x-12=0，
解得x₁=

2

3

，x₂=-6，（舍）
∵橢圓C與曲線E的交點為A，B，∴A（

2

3

，-

2 6

3

），B（

2

3

，

2 6

3

），
∴|AB|=

4 6

3

，且直線AB⊥x軸，
如果在橢圓C和曲線E存在點P，使得△PAB的面積為

8 6

9

，
則

1

2

|AB|×|xP-

2

3

|=

8 6

9

，即

2 6

3

|xp-

2

3

|=

8 6

9

，
解得x_p=2或x_p=-

2

3

，
在y²=4x中，當x_p=2時，解得y_p=±2

2

；當x_p=-

2

3

時，無解；
在

x2

4

+

y2

3

=1中，當x_p=2時，y_p=0；當x_p=-

2

3

時，yp=±

2 6

3

，
∴滿足條件的點P的坐標有：（2，-2

2

），（2，2

2

），（2，0），（-

2

3

，-

2 6

3

），（-

2

3

，

2 6

3

）．
（3）設(shè)直線MN為y=a（-

3

＜a＜

3

），
聯(lián)立

y=a x 2 4 + y2 3 =1

，得x1=2

1- a2 3

，
聯(lián)立

y=a y2=4x

，得x2=

a2

4

，
∴△MNF₂的周長t=x1-x2+

y12+(x1-1)2

+

y22+(1-x2)2

=2

1- a2 3

-

a2

4

+

5- a2 3 -4 1- a2 3

+

a2 2 + a4 16 +1

=3-

1- a2 3

，
∵-

3

＜a

3

，
∴3-1＜t＜3-0，即2＜t＜3．
∴△MNF₂的周長t的取值范圍是（2，3）．

點評：本題考查橢圓C和曲線E的方程的求法，考查滿足條件的點的坐標是否存在的判斷與求法，考查△MNF₂的周長t的取值范圍的求法，解題時要認真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運用．