Question

1．在數(shù)列{a_n}中，a₁=-$\frac{1}{4}$，a_n=1-$\frac{1}{{{a_{n-1}}}}$（n≥2，n∈N^*），則a₂₀₁₆的值為（　�。�

• A． $-\frac{1}{4}$
• B． 5
• C． $\frac{4}{5}$
• D． $\frac{5}{4}$

Answer 1

分析 由a₁=-$\frac{1}{4}$，a_n=1-$\frac{1}{{{a_{n-1}}}}$（n≥2，n∈N^*），利用遞推思想求出數(shù)列的前4項(xiàng)，從而得到{a_n}是以3為周期的周期數(shù)列，由此能求出a₂₀₁₆．

解答 解：∵在數(shù)列{a_n}中，a₁=-$\frac{1}{4}$，a_n=1-$\frac{1}{{{a_{n-1}}}}$（n≥2，n∈N^*），
∴${a}_{2}=1-\frac{1}{-\frac{1}{4}}$=5，
${a}_{3}=1-\frac{1}{5}$=$\frac{4}{5}$，
${a}_{4}=1-\frac{1}{\frac{4}{5}}$=-$\frac{1}{4}$，
∴{a_n}是以3為周期的周期數(shù)列，
∵2016=672×3，
∴a₂₀₁₆=a₃=$\frac{4}{5}$．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的遞推公式的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，解題的關(guān)鍵是推導(dǎo)出{a_n}是以3為周期的周期數(shù)列．