Question

9．已知函數(shù)$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}-\frac{t}{2}{x^2}+kx（t＞0，k＞0）$在x=a，x=b處分別取得極大值與極小值，且a，b，-2這三個(gè)數(shù)可適當(dāng)排序后成等差數(shù)列，也可適當(dāng)排序后成等比數(shù)列，則t的值等于（　�。�

• A． 5
• B． 4
• C． 3
• D． 1

Answer 1

分析 求出b＞a＞0，可得：a，b，-2這三個(gè)數(shù)可適當(dāng)排序?yàn)?2，a，b或b，a，-2后成等差數(shù)列，也可適當(dāng)排序?yàn)閍，-2，b或b，-2，a后成等比數(shù)列，即可得出．

解答 解：函數(shù)$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}-\frac{t}{2}{x^2}+kx（t＞0，k＞0）$，
f′（x）=x²-tx+k，
若f（x）在x=a，x=b處分別取得極大值與極小值，
則a，b是方程f′（x）=0的根，
故a+b=t＞0，ab=k＞0，a＜b，
故b＞a＞0，可得：a，b，-2這三個(gè)數(shù)可適當(dāng)排序?yàn)?2，a，b或b，a，-2后成等差數(shù)列，
也可適當(dāng)排序?yàn)閍，-2，b或b，-2，a后成等比數(shù)列，
∴2a=b-2，（-2）²=ab，
聯(lián)立解得b=4，a=1，
∴a+b=5=t，
故選：A．

點(diǎn)評 題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．