Question

4．已知數(shù)列{a_n}，{b_n}前n項(xiàng)和分別為S_n，T_n，a_n+1-a_n=2（b_n+1-b_n），b₁=3，S_n=n²+2n+3，則T_n=$\frac{1}{2}$（n²+2n+3）．（n∈N*）．

Answer 1

分析 運(yùn)用數(shù)列的遞推式：n=1時(shí)，a₁=S₁，n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1，可得數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式，求出b₂，b_n，運(yùn)用等差數(shù)列的求和公式求得T_n，注意項(xiàng)數(shù)n．

解答 解：S_n=n²+2n+3，
可得n=1時(shí)，a₁=S₁=6，
n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=n²+2n+3-（n-1）²-2（n-1）-3=2n+1．
由a_n+1-a_n=2（b_n+1-b_n），
n=1時(shí)，可得a₂-a₁=2（b₂-b₁），
即為5-6=2（b₂-3），
可得b₂=$\frac{5}{2}$，
當(dāng)n≥2時(shí)，由a_n+1-a_n=2（b_n+1-b_n），
可得b_n+1-b_n=$\frac{1}{2}$×2=1，
則b_n=$\frac{5}{2}$+（n-2）=n+$\frac{1}{2}$（n≥2），
則T_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n=3+$\frac{5}{2}$+…+n+$\frac{1}{2}$
=3+$\frac{1}{2}$（n-1）（n+3）=$\frac{1}{2}$（n²+2n+3）．（n∈N*）．
故答案為：$\frac{1}{2}$（n²+2n+3）．（n∈N*）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式的運(yùn)用，注意運(yùn)用數(shù)列的遞推式：n=1時(shí)，a₁=S₁，n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題和易錯(cuò)題．