Question

3．已知y=f（x）是定義在R上的奇函數，當時x≥0，f（x）=x²+2x．
（1）求函數f（x）的解析式；
（2）解不等式f（x）≥x+2．

Answer 1

分析 （1）由題意利用函數為奇函數，求得當x＜0時函數的解析式，從而得出結論．
（2）分類討論，求得不等式的解集．

解答 解：（1）∵y=f（x）是定義在R上的奇函數，當時x≥0，f（x）=x²+2x，
當x＜0時，-x＞0，則f（-x）=x²-2x，
∴當x＜0時，f（x）=-f（-x）=-x²≤2x，∴$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{x^2}+2x（{x≥0}）\\-{x^2}+2x（{x＜0}）\end{array}\right.$．
（2）當x≥0時，原不等式為x²+2x≥x+2，解得x≥1，或x≤-2，從而x≥1；
當x＜0時，原不等式為-x²+2x≥x+2，此不等式的解集為∅．
綜上，原不等式的解集為{x|x≥1}．

點評 本題主要考查利用函數的奇偶性求函數的解析式，解不等式，屬于中檔題．