Question

2．已知函數(shù)f（x）=$\frac{lnx+k}{{e}^{x}}$，曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線與x軸平行
（1）函數(shù)f（x）是否存在極值？若存在，請求出，若不存在，請說明理由．
（2）若e^x≥x+t恒成立，求t的取值范圍．
（3）已知g（x）=$\frac{{e}^{2x-1}}{x+1}$，求證：當(dāng)x＞0時，g（x）＞1+lnx恒成立．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)f′（1）=0，求出k的值，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的極值即可；
（2）令h（x）=e^x-x，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出h（x）的最小值，從而求出t的范圍即可；
（3）問題轉(zhuǎn)化為證明$\frac{\frac{1}{e}}{x+1}$＞$\frac{\frac{1+lnx}{{e}^{x}}}{{e}^{x}}$，根據(jù)前兩問的結(jié)果證明即可．

解答 解：（1）由題意得：f′（x）=$\frac{\frac{1}{x}-lnx-k}{{e}^{x}}$，
故f′（1）=$\frac{1-k}{e}$=0，
解得：k=1，
∴f′（x）=$\frac{\frac{1}{x}-lnx-1}{{e}^{x}}$，
令g（x）=$\frac{1}{x}$-lnx-1，
則g（x）是減函數(shù)，且g（1）=0，
故x∈（0，1）時，g′（x）＞0，x∈（1，+∞）時，g′（x）＜0，
故函數(shù)f（x）_極大值=f（1）=$\frac{1}{e}$，無極小值；
（2）令h（x）=e^x-x，h′（x）=e^x-1，
令h′（x）＞0，解得：x＞0，令h′（x）＜0，解得：x＜0，
故h（x）在（-∞，0）遞減，在（0，+∞）遞增，
故h（x）_min=h（1）=e-1，
故t≤e-1；
（3）x＞0時，要證$\frac{{e}^{2x-1}}{x+1}$＞lnx+1，
只需證明$\frac{\frac{1}{e}}{x+1}$＞$\frac{\frac{1+lnx}{{e}^{x}}}{{e}^{x}}$，
由（1）得$\frac{1+lnx}{{e}^{x}}$＜$\frac{1}{e}$，
由（2）得e^x＞x+1，
故問題得證．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、極值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及轉(zhuǎn)化思想，考查不等式的證明，是一道綜合題．