【題目】(文科做)已知函數(shù)f(x)=x﹣ ﹣(a+2)lnx,其中實(shí)數(shù)a≥0.
(1)若a=0,求函數(shù)f(x)在x∈[1,3]上的最值;
(2)若a>0,討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性.
【答案】
(1)解:∵f(x)=x﹣2lnx,∴f′(x)= ,
令f′(x)=0,∴x=2.列表如下,
x | 1 | (1,2) | 2 | (2,3) | 3 |
f'(x) | ﹣ | 0 | + | ||
f(x) | 1 | ↘ | 2﹣2ln2 | ↗ | 3﹣2ln3 |
從上表可知,
∵f(3)﹣f(1)=2﹣2ln3<0,∴f(1)>f(3),
函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,3]上的最大值是1,最小值為2﹣2ln2
(2)解: ,
①當(dāng)a>2時(shí),x∈(0,2)∪(a,+∞)時(shí),f′(x)>0;當(dāng)x∈(2,a)時(shí),f′(x)<0,
∴f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(0,2),(a,+∞),單調(diào)減區(qū)間為(2,a);
②當(dāng)a=2時(shí),∵ ,
∴f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(0,+∞);
③當(dāng)0<a<2時(shí),x∈(0,a)∪(2,+∞)時(shí),f′(x)>0;當(dāng)x∈(a,2)時(shí),f′(x)<0,
∴f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(0,a),(2,+∞),單調(diào)減區(qū)間為(a,2);
綜上,當(dāng)a>2時(shí),f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(0,2),(a,+∞),單調(diào)減區(qū)間為(2,a);
當(dāng)a=2時(shí),f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(0,+∞);
當(dāng)0<a<2時(shí),f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(0,a),(2,+∞),單調(diào)減區(qū)間為(a,2)
【解析】(1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,從而求出函數(shù)在閉區(qū)間上的最值即可;(2)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),通過討論a的范圍,確定導(dǎo)函數(shù)的符號(hào),從而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可.
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù),需要了解一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系: 在某個(gè)區(qū)間內(nèi),(1)如果,那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增;(2)如果,那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減;求函數(shù)的極值的方法是:(1)如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極大值(2)如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極小值才能得出正確答案.
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【題目】已知函數(shù) , .
(Ⅰ)當(dāng) 時(shí), 恒成立,求的取值范圍;
(Ⅱ)當(dāng) 時(shí),研究函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù);
(Ⅲ)求證: (參考數(shù)據(jù): ).
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(Ⅱ)判斷f(x)的單調(diào)性(不必證明),并求出f(x)的值域;
(Ⅲ)若對(duì)任意的x∈[1,4],不等式f(k﹣ )+f(2﹣x)>0恒成立,求實(shí)數(shù)k的取值范圍.
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【題目】若不等式lg ≥(x﹣1)lg3對(duì)任意x∈(﹣∞,1]恒成立,則a的取值范圍是( )
A.(﹣∞,0]
B.[1,+∞)
C.[0,+∞)
D.(﹣∞,1]
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【題目】已知數(shù)列的前項(xiàng)和為, , .等 差數(shù)列中, ,且公差.
(Ⅰ)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)是否存在正整數(shù),使得?.若存在,求出的最小值;若 不存在,請(qǐng)說明理由.
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【題目】某科研小組研究發(fā)現(xiàn):一棵水果樹的產(chǎn)量(單位:百千克)與肥料費(fèi)用(單位:百元)滿足如下關(guān)系: .此外,還需要投入其它成本(如施肥的人工費(fèi)等)百元.已知這種水果的市場售價(jià)為16元/千克(即16百元/百千克),且市場需求始終供不應(yīng)求.記該棵水果樹獲得的利潤為(單位:百元).
(1)求的函數(shù)關(guān)系式;
當(dāng)投入的肥料費(fèi)用為多少時(shí),該水果樹獲得的利潤最大?最大利潤是多少?
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(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)橢圓上一點(diǎn)P滿足∠F1PF2=60°,其中F1 , F2為橢圓的左右焦點(diǎn),求△F1PF2的面積.
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