Question

11．如圖，四邊形ABCD與BDEF均為菱形，∠DAB=∠DBF=60°，且FA=FC；
（1）求證：AC⊥平面BDEF；
（2）求證：FC∥平面EAD；
（3）設(shè)AB=BF=a，求四面體A-BCF的體積．

Answer 1

分析 （1）設(shè)AC∩BD=O，連結(jié)FO，由AC⊥BD，AC⊥FO即可得出AC⊥平面BDEF；
（2）由BC∥AD，BF∥DE可得平面BCF∥平面EAD，從而FC∥平面EAD；
（3）證明FO⊥平面ABCD，則V_A-BCF=V_F-ABC=$\frac{1}{3}{S}_{△ABC}•FO$．

解答 解：（1）證明：設(shè)AC∩BD=O，連結(jié)FO，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，O是AC的中點(diǎn)，
又FA=FC，∴FO⊥AC，
又FO?平面BDEF，BD?平面BDEF，BD∩FO=O，
∴AC⊥平面BDEF，
（2）證明：四邊形ABCD和四邊形BDEF是菱形，
∴BC∥AD，BF∥DE，
又BC?平面FBC，BF?平面FBC，AD?平面EAD，
DE?平面EAD，
∴平面BCF∥平面EAD，
又FC?平面FBC，
∴FC∥平面EAD．
（3）∵四邊形BDEF是菱形，∠DBF=60°，
∴△BDF是等邊三角形，又O是BD的中點(diǎn)，
∴FO⊥OB，F(xiàn)O=$\frac{\sqrt{3}a}{2}$，
又FO⊥AC，OB∩AC=O，
∴FO⊥平面ABCD，
∴V_A-BCF=V_F-ABC=$\frac{1}{3}{S}_{△ABC}•FO$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×a×a×sin120°×\frac{\sqrt{3}a}{2}$=$\frac{{a}^{3}}{8}$．

點(diǎn)評 本題考查了線面平行，線面垂直的判定，棱錐的體積計(jì)算，屬于中檔題．