Question

3．已知兩個等差數(shù)列{a_n}和{b_n}的前n項和分別為A_n和B_n，且$\frac{A_n}{B_n}=\frac{7n+57}{n+3}$，則使得$\frac{a_n}{b_n}$為整數(shù)的正整數(shù)n的個數(shù)是（　　）

• A． 3
• B． 4
• C． 5
• D． 6

Answer 1

分析 推導(dǎo)出$\frac{{a}_{n}}{_{n}}$=$\frac{{A}_{2n-1}}{{B}_{2n-1}}$，由此能求出使得$\frac{a_n}{b_n}$為整數(shù)的正整數(shù)n的個數(shù)．

解答 解：∵兩個等差數(shù)列{a_n}和{b_n}的前n項和分別為A_n和B_n，且$\frac{A_n}{B_n}=\frac{7n+57}{n+3}$，
∴$\frac{{a}_{n}}{_{n}}$=$\frac{2{a}_{n}}{2_{n}}$=$\frac{{a}_{1}+{a}_{2n-1}}{_{1}+_{2n-1}}$=$\frac{\frac{2n-1}{2}（{a}_{1}+{a}_{2n-1}）}{\frac{2n-1}{2}（_{1}+_{2n-1}）}$=$\frac{{A}_{2n-1}}{{B}_{2n-1}}$
=$\frac{7（2n-1）+57}{2n-1+3}$=$\frac{14n+50}{2n+2}$=$\frac{7n+25}{n+1}$，
使得$\frac{a_n}{b_n}$為整數(shù)的正整數(shù)n的值依次為1，2，5，6，8，
∴使得$\frac{a_n}{b_n}$為整數(shù)的正整數(shù)n的個數(shù)是5．
故選：C．

點(diǎn)評 本題考查兩個等差數(shù)列的前n項和的比值為整數(shù)的項數(shù)n的個數(shù)的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要認(rèn)真審題，注意等差數(shù)列的性質(zhì)的合理運(yùn)用．