分析 推導(dǎo)出A+C=\frac{5π}{6},從而\frac{π}{3}<A<\frac{π}{2},\frac{π}{3}<C<\frac{π}{2},進(jìn)而cosA+sinC=cos(\frac{5π}{6}-C)+sinC=-\frac{\sqrt{3}}{2}cosC+\frac{3}{2}sinC=\sqrt{3}sin(C-\frac{π}{6}),由此能求出cosA+sinC的取值范圍.
解答 解:設(shè)銳角三角形ABC的三個(gè)內(nèi)角分別為A,B,C,
則A+B+C=π,0<A<\frac{π}{2},0<B<\frac{π}{2},0<C<\frac{π}{2},
∵B=\frac{π}{6},∴A+C=\frac{5π}{6},
∴\frac{π}{3}<A<\frac{π}{2},\frac{π}{3}<C<\frac{π}{2},
∴cosA+sinC=cos(\frac{5π}{6}-C)+sinC=-\frac{\sqrt{3}}{2}cosC+\frac{1}{2}sinC+sinC=-\frac{\sqrt{3}}{2}cosC+\frac{3}{2}sinC,
∵-\frac{\sqrt{3}}{2}cosC+\frac{3}{2}sinC=\sqrt{3}(sinCcos\frac{π}{6}-cosCsin\frac{π}{6})=\sqrt{3}sin(C-\frac{π}{6}),
又\frac{π}{3}<C<\frac{π}{2},
∴\frac{1}{2}=sin\frac{π}{2}<sin(C-\frac{π}{6})<sin\frac{π}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2},
∴\frac{\sqrt{3}}{2}<cosA+sinC<\frac{3}{2},
cosA+sinC的取值范圍是(\frac{{\sqrt{3}}}{2},\frac{3}{2}).
故答案為:(\frac{{\sqrt{3}}}{2},\frac{3}{2}).
點(diǎn)評(píng) 本題考查三角函數(shù)值的和的取值范圍的求法,是中檔題,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意三函數(shù)數(shù)兩角和與差的性質(zhì)的合理運(yùn)用.
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A. | -4 | B. | 4 | C. | -5 | D. | 5 |
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A. | 3件都是正品 | B. | 至少有1件次品 | C. | 3件都是次品 | D. | 至少有1件正品 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題
A. | 2\sqrt{2} | B. | 1+2\sqrt{2} | C. | 2+2\sqrt{2} | D. | 3+2\sqrt{2} |
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A. | 4 | B. | -4 | C. | 2 | D. | -2 |
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A. | 3或27 | B. | 3 | C. | 27 | D. | 5 |
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