Question

10．設(shè)銳角△ABC的三個(gè)內(nèi)角為A，B，C，其中角B的大小為$\frac{π}{6}$，則cosA+sinC的取值范圍為（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{3}{2}$）．

Answer 1

分析 推導(dǎo)出A+C=$\frac{5π}{6}$，從而$\frac{π}{3}$＜A＜$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{3}$＜C＜$\frac{π}{2}$，進(jìn)而cosA+sinC=cos（$\frac{5π}{6}$-C）+sinC=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosC+$\frac{3}{2}$sinC=$\sqrt{3}$sin（C-$\frac{π}{6}$），由此能求出cosA+sinC的取值范圍．

解答 解：設(shè)銳角三角形ABC的三個(gè)內(nèi)角分別為A，B，C，
則A+B+C=π，0＜A＜$\frac{π}{2}$，0＜B＜$\frac{π}{2}$，0＜C＜$\frac{π}{2}$，
∵B=$\frac{π}{6}$，∴A+C=$\frac{5π}{6}$，
∴$\frac{π}{3}$＜A＜$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{3}$＜C＜$\frac{π}{2}$，
∴cosA+sinC=cos（$\frac{5π}{6}$-C）+sinC=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosC+$\frac{1}{2}$sinC+sinC=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosC+$\frac{3}{2}$sinC，
∵-$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosC+$\frac{3}{2}$sinC=$\sqrt{3}$（sinCcos$\frac{π}{6}$-cosCsin$\frac{π}{6}$）=$\sqrt{3}$sin（C-$\frac{π}{6}$），
又$\frac{π}{3}$＜C＜$\frac{π}{2}$，
∴$\frac{1}{2}$=sin$\frac{π}{2}$＜sin（C-$\frac{π}{6}$）＜sin$\frac{π}{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴$\frac{\sqrt{3}}{2}$＜cosA+sinC＜$\frac{3}{2}$，
cosA+sinC的取值范圍是$（\frac{{\sqrt{3}}}{2}，\frac{3}{2}）$．
故答案為：$（\frac{{\sqrt{3}}}{2}，\frac{3}{2}）$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角函數(shù)值的和的取值范圍的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意三函數(shù)數(shù)兩角和與差的性質(zhì)的合理運(yùn)用．