Question

設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為F₁、F₂，A是橢圓C上的一點(diǎn)，且，坐標(biāo)原點(diǎn)O到直線AF₁的距離為．
（I）求橢圓C的方程；
（II）設(shè)Q是橢圓C上的一點(diǎn)，過Q的直線l交x軸于點(diǎn)P（-1，0），較y軸于點(diǎn)M，若，求直線l的方程．

Answer 1

解：（I）由題設(shè)知
由于，則有，
所以點(diǎn)A的坐標(biāo)為，
故AF₁所在直線方程為，…（3分）
所以坐標(biāo)原點(diǎn)O到直線AF₁的距離為，
又，所以，
解得，
所求橢圓的方程為．…（5分）
（II）由題意知直線l的斜率存在，
設(shè)直線l的方程為y=k（x+1），則有M（0，k），
設(shè)Q（x₁，y₁），由于，
∴（x₁，y₁-k）=2（-1-x₁，-y₁），
解得…（8分）
又Q在橢圓C上，得，
解得k=±4，…（10分）
故直線l的方程為y=4（x+1）或y=-4（x+1），
即4x-y+4=0或4x+y+4=0． …（12分）
分析：（I）由題意可得出，再由得出，從而可得出點(diǎn)A的坐標(biāo)，由此可得出AF₁所在直線方程為，再由坐標(biāo)原點(diǎn)O到直線AF₁的距離為．建立方程，即可解出a的值，由此得橢圓的方程；
（II）由題意知直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程為y=k（x+1），求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，設(shè)出Q的坐標(biāo)，代入向量得到關(guān)于兩點(diǎn)M與Q的坐標(biāo)的方程，解出點(diǎn)Q的坐標(biāo)來，再由點(diǎn)Q在橢圓上，代入橢圓的方程即可得到直線的斜率k所滿足的方程，解出k的值，即可得直線l的方程
點(diǎn)評：本題考查直線與圓錐曲線的綜合問題，考查了轉(zhuǎn)化的思想與方程的思想，判斷推理的能力及綜合利用直線與橢圓的有關(guān)知識解題，正確解答本題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確理解題意建立所引入的參數(shù)的方程求出參數(shù)的值，本部分題符號運(yùn)算多，計算量大，要認(rèn)真嚴(yán)謹(jǐn)計算