【題目】定義max{x1,x2,x3,…,xn}表示x1,x2,x3,…,xn中的最大值.已知數(shù)列an=,bn=,cn=,其中n+m+p=200,m=kn,n,m,p,k∈N*.記dn=max{an,bn,cn}
(Ⅰ)求max{an,bn}
(Ⅱ)當(dāng)k=2時(shí),求dn的最小值;
(Ⅲ)k∈N*,求dn的最小值.
【答案】(Ⅰ)當(dāng),max{an,bn}=,當(dāng),max{an,bn}=;(Ⅱ);(Ⅲ)
【解析】
(Ⅰ)由題意,max{an,bn}=max{,},,分別求得k=1、k=2及k≥3時(shí),分別求得max{an,bn};
(Ⅱ)當(dāng)k=2時(shí),由(Ⅰ)可得dn=max{an,cn}=max{,},根據(jù)數(shù)列的單調(diào)性求得n,dn取得最小值,4445,分別求得d44和d45,比較即可求得dn取得最小值;
(Ⅲ)由(II)可知,當(dāng)k=2時(shí),dn的最小值為,當(dāng)k=1及k≥3時(shí),根據(jù)函數(shù)單調(diào)性,分別求得可能取最小值時(shí),n的取值,比較即可求得dn取得最小值.
解:( I)由題意,max{an,bn}=max{,},
因?yàn)?/span>,
所以,當(dāng)k=1時(shí),,則max{an,bn}=bn,
當(dāng)k=2時(shí),,則max{an,bn}=an,
當(dāng)k≥3時(shí),,則max{an,bn}=an.
( II)當(dāng)k=2時(shí),dn=max{an,bn,cn}=max{an,cn}=max{,},
因?yàn)閿?shù)列{an}為單調(diào)遞減數(shù)列,數(shù)列{cn}為單調(diào)遞增數(shù)列,
所以當(dāng)時(shí),dn取得最小值,此時(shí)n.
又因?yàn)?/span>4445,
而d44=max{a44,c44}=a44,d45=c45,有d44<d45.
所以dn的最小值為.
( III)由(II)可知,當(dāng)k=2時(shí),dn的最小值為.
當(dāng)k=1時(shí),dn=max{an,bn,cn}=max{bn,cn}=max{,}.
因?yàn)閿?shù)列{bn}為單調(diào)遞減數(shù)列,數(shù)列{cn}為單調(diào)遞增數(shù)列,
所以當(dāng)時(shí),dn取得最小值,此時(shí)n.
又因?yàn)?/span>7273,
而d72=b72,d72=c72,.
此時(shí)dn的最小值為,.
(2)k≥3時(shí),,an>bn,
所以dn=max{an,bn,cn}=max{an,cn}≥max{,}.
設(shè)hn=max{,},
因?yàn)閿?shù)列{an}為單調(diào)遞減數(shù)列,數(shù)列{}為單調(diào)遞增數(shù)列,
所以當(dāng)時(shí),hn取得最小值,此時(shí)n.
又因?yàn)?/span>3637,
而h36=a36,h37,.
此時(shí)dn的最小值為,..
綜上,dn的最小值為d44.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】隨著通識教育理念的推廣及高校課程改革的深入,選修課越來越受到人們的重視.國內(nèi)一些知名院校在公共選修課的設(shè)置方面做了許多有益的探索,并且取得了一定的成果.因?yàn)檫x修課的課程建設(shè)處于探索階段,選修課的教學(xué)、管理還存在很多的問題,所以需要在通識教育的基礎(chǔ)上制定科學(xué)的、可行的解決方案,為學(xué)校選修課程的改革與創(chuàng)新、課程設(shè)置、考試考核、人才培養(yǎng)提供參考.某高校采用分層抽樣法抽取了數(shù)學(xué)專業(yè)的50名參加選修課與不參加選修課的學(xué)生的成績,統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表:
成績優(yōu)秀 | 成績不夠優(yōu)秀 | 總計(jì) | |
參加選修課 | 16 | 9 | 25 |
不參加選修課 | 8 | 17 | 25 |
總計(jì) | 24 | 26 | 50 |
(1)試運(yùn)用獨(dú)立性檢驗(yàn)的思想方法你能否有99%的把握認(rèn)為“學(xué)生的成績優(yōu)秀與是否參加選修課有關(guān)”,并說明理由;
(2)如果從數(shù)學(xué)專業(yè)隨機(jī)抽取5名學(xué)生,求抽到參加選修課的學(xué)生人數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望(將頻率當(dāng)做概率計(jì)算).
參考公式:,其中.
臨界值表:
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù), ().
(1)當(dāng)時(shí),若函數(shù)與的圖象在處有相同的切線,求的值;
(2)當(dāng)時(shí),若對任意和任意,總存在不相等的正實(shí)數(shù),使得,求的最小值;
(3)當(dāng)時(shí),設(shè)函數(shù)與的圖象交于 兩點(diǎn).求證: .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】點(diǎn)P是棱長為1的正方體ABCD﹣A1B1C1D1的底面A1B1C1D1上一點(diǎn),則的取值范圍是__.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】是定義在上的奇函數(shù),對,均有,已知當(dāng)時(shí), ,則下列結(jié)論正確的是( )
A. 的圖象關(guān)于對稱 B. 有最大值1
C. 在上有5個(gè)零點(diǎn) D. 當(dāng)時(shí),
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】我國古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問題:“遠(yuǎn)望巍巍塔七層,紅光點(diǎn)點(diǎn)倍加增,共燈三百八十一,請問尖頭幾盞燈?”意思是:一座7層塔共掛了381盞燈,且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍,則塔的頂層共有燈( )
A. 1盞 B. 3盞 C. 5盞 D. 9盞
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為(其中為參數(shù),).在極坐標(biāo)系(以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),以軸非負(fù)半軸為極軸)中,曲線的極坐標(biāo)方程為.
(1)求曲線的普通方程和曲線的直角坐標(biāo)方程;
(2)若曲線上恰有一個(gè)點(diǎn)到曲線的距離為1,求曲線的直角坐標(biāo)方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】2019年雙十一落下帷幕,天貓交易額定格在268(單位:十億元)人民幣(下同),再創(chuàng)新高,比去年218(十億元)多了50(十億元),這些數(shù)字的背后,除了是消費(fèi)者買買買的表現(xiàn),更是購物車?yán)镏袊孪M(fèi)的奇跡,為了研究歷年銷售額的變化趨勢,一機(jī)構(gòu)統(tǒng)計(jì)了2010年到2019年天貓雙十一的銷售額數(shù)據(jù)(單位:十億元).繪制如下表1:
表1
年份 | 2010 | 2011 | 2012 | 2013 | 2014 | 2015 | 2016 | 2017 | 2018 | 2019 |
編號 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
銷售額 | 0.9 | 8.7 | 22.4 | 41 | 65 | 94 | 132.5 | 172.5 | 218 | 268 |
根據(jù)以上數(shù)據(jù)繪制散點(diǎn)圖,如圖所示.
(1)根據(jù)散點(diǎn)圖判斷,與哪一個(gè)適宜作為銷售額關(guān)于的回歸方程類型?(給出判斷即可,不必說明理由)
(2)根據(jù)(1)的判斷結(jié)果及下表中的數(shù)據(jù),建立關(guān)于的回歸方程,并預(yù)測2020年天貓雙十一銷售額;(注:數(shù)據(jù)保留小數(shù)點(diǎn)后一位)
(3)把銷售額超過10(十億元)的年份叫“暢銷年”,把銷售額超過100(十億元)的年份叫“狂歡年”,從2010年到2019年這十年的“暢銷年”中任取3個(gè),求取到的“狂歡年”個(gè)數(shù)的分布列與期望.
參考數(shù)據(jù):.
參考公式:對于一組數(shù)據(jù),,…,,其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為,.
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