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【題目】如圖所示,橢圓 )的離心率為,左焦點為,右焦點為,短軸兩個端點,與軸不垂直的直線與橢圓交于不同的兩點,記直線、的斜率分別為、,且.

1)求橢圓的方程;

2)求證直線軸相交于定點,并求出定點坐標;

3)當弦的中點落在內(包括邊界)時,求直線的斜率的取值.

【答案】123

【解析】試題分析:(1)由焦點坐標可得c值,由離心率可得a值,據a,b,c關系可求得b;(2)設直線l的方程為y=kx+b,M、N坐標分別為 M(x1,y1),Nx2y2),聯立直線方程與橢圓方程消掉y得x的二次方程,由韋達定理及斜率公式可用k,b表示出等式,由此可求得b值,進而可求得直線所過定點;(3)由(2)中的一元二次方程可求得判別式大于0求得k的范圍,設弦AB的中點P坐標則可分別表示出x0和y0,易判斷p點在x軸上方,從而得一關于x0,y0的不等式組,將坐標代入,解出即可;

解析:

(1)由題意可知:橢圓的離心率, ,

故橢圓的方程為

(2)設直線的方程為 , 坐標分別為

.

,

, 。

=

將韋達定理代入,并整理得

,解得

.

∴直線軸相交于定點;

(3)由(2)中

其判別式,得.

設弦的中點坐標為,則

,

∵弦的中點落在內(包括邊界),∴

將坐標代入,整理得

解得

由①②得所求范圍為

練習冊系列答案
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④若不等式恒成立,則的取值范圍是;

⑤若命題,則

其中真命題的序號是____________(寫出全部真命題的序號).

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