Question

5．已知命題P：：直線mx-y+2=0與圓x²+y²-2x-4y+$\frac{19}{4}$=0有兩個交點；命題：$q：?{x_0}∈[{-\frac{π}{6}，\frac{π}{4}}]，2sin（{2{x_0}+\frac{π}{6}}）+2cos2{x_0}$≤m．
（1）若p∧q為真命題，求實數m的取值范圍；
（2）若p∨q為真命題，p∧q為假命題，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）若p∧q為真命題，則命題p，q均為真命題，進而可得實數m的取值范圍；
（2）若p∨q為真命題，p∧q為假命題，則p，q一真一假，進而可得實數m的取值范圍．

解答 解：∵${x^2}+{y^2}-2x-4y+\frac{19}{4}=0$，∴${（{x-1}）^2}+{（{y-2}）^2}=\frac{1}{4}$，
所以該圓的圓心為（1，2），半徑為$\frac{1}{2}$，圓心到直線的距離$d=\frac{{|{m-2+2}|}}{{\sqrt{1+{m^2}}}}=\frac{|m|}{{\sqrt{1+{m^2}}}}$．
若p為真，則圓心到直線的距離小于半徑，即$\frac{|m|}{{\sqrt{1+{m^2}}}}＜\frac{1}{2}$，解得$-\frac{{\sqrt{3}}}{3}＜m＜\frac{{\sqrt{3}}}{3}$．
若q為真，則$m≥2sin（{2x+\frac{π}{6}}）+2cos2x$在$[{-\frac{π}{6}，\frac{π}{4}}]$上有解，
因為$2sin（{2x+\frac{π}{6}}）+2cos2x=2sin2xcos\frac{π}{6}+2cos2xsin\frac{π}{6}+2cos2x=\sqrt{3}sin2x+3cos2x=2\sqrt{3}sin（{2x+\frac{π}{3}}）$，又由$x∈[{-\frac{π}{6}，\frac{π}{4}}]$，得$0≤2x+\frac{π}{3}≤\frac{5π}{6}$，
所以$0≤2\sqrt{3}sin（{2x+\frac{π}{3}}）≤2\sqrt{3}$，
即$0≤2sin（{2x+\frac{π}{6}}）+2cos2x≤2\sqrt{3}$，故若q為真，則m≥0…（6分）
（1）若p∧q為真，則應滿足$\left\{{\begin{array}{l}{-\frac{{\sqrt{3}}}{3}＜m＜\frac{{\sqrt{3}}}{3}}\\{m≥0}\end{array}}\right.$，即$0≤m＜\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，
故實數m的取值范圍為$[{0，\frac{{\sqrt{3}}}{3}}）$…（8分）
（2）若p∧q為真命題，p∧q為假命題，則p，q一真一假，
若p真q假，則應滿足$\left\{{\begin{array}{l}{-\frac{{\sqrt{3}}}{3}＜m＜\frac{{\sqrt{3}}}{3}，即-\frac{{\sqrt{3}}}{3}＜m＜0}\\{m＜0}\end{array}}\right.$，
若p假q真，則應滿足$\left\{{\begin{array}{l}{m≤-\frac{{\sqrt{3}}}{3}或m≥\frac{{\sqrt{3}}}{3}，即m≥\frac{{\sqrt{3}}}{3}}\\{m≥0}\end{array}}\right.$
綜上所述，實數m的取值范圍為$（{-\frac{{\sqrt{3}}}{3}，0}）∪[{\frac{{\sqrt{3}}}{3}，+∞}）$…（12分）

點評 本題以命題的真假判斷與應用為載體，考查了直線與圓的位置關系，三角函數的圖象和性質，復合命題等知識點，難度中檔．