Question

16．如圖，在四棱錐O-ABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為1的菱形，∠ABC=$\frac{π}{4}$，OA⊥底面ABCD，OA=2，M為OA的中點(diǎn)，N為BC的中點(diǎn)．
（1）證明：直線MN∥平面OCD．
（2）求三棱錐N-CDM的體積．

Answer 1

分析 （1）取AD中點(diǎn)E，連結(jié)ME，NE，推導(dǎo)出平面MNE∥平面CDO，由此能證明直線MN∥平面OCD．
（2）三棱錐N-CDM的體積V_N-CDM=V_M-CDN，由此能求出結(jié)果．

解答 證明：（1）取AD中點(diǎn)E，連結(jié)ME，NE，
∵M(jìn)為OA的中點(diǎn)，N為BC的中點(diǎn)，
∴ME∥OD，NE∥CD，
∵M(jìn)E∩NE=E，OD∩CD=D，ME，NE?平面MNE，OD，CD?平面CDO，
∴平面MNE∥平面CDO，
∵M(jìn)N?平面MNE，∴直線MN∥平面OCD．
解：（2）∵OA⊥底面ABCD，OA=2，M為OA的中點(diǎn)，
∴AM⊥平面CDN，且AM=1，
∵底面ABCD是邊長(zhǎng)為1的菱形，∠ABC=$\frac{π}{4}$，
∴${S}_{△CDN}=\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×1×sin135°$=$\frac{\sqrt{2}}{8}$，
∴三棱錐N-CDM的體積V_N-CDM=V_M-CDN=$\frac{1}{3}×{S}_{△CDN}×AM$=$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{2}}{8}×1$=$\frac{\sqrt{2}}{24}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面平行的證明，考查三棱錐的體積的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．