Question

1．橢圓$\frac{x^2}{12}+\frac{y^2}{4}=1$的左、右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，過(guò)焦點(diǎn)F₁的直線交該橢圓于A，B兩點(diǎn)，若△ABF₂的內(nèi)切圓面積為π，A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），則|y₁-y₂|的值為$\sqrt{6}$．

Answer 1

分析 由已知△ABF₂內(nèi)切圓半徑r=1，從而求出△ABF₂面積，再由ABF₂面積=$\frac{1}{2}$|y₁-y₂|×2c，能求出|y₁-y₂|．

解答 解：∵橢圓$\frac{x^2}{12}+\frac{y^2}{4}=1$的左右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，a=2$\sqrt{3}$，b=2，c=2$\sqrt{2}$，
過(guò)焦點(diǎn)F₁的直線交橢圓于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）兩點(diǎn)，
△ABF₂的內(nèi)切圓的面積為π，
∴△ABF₂內(nèi)切圓半徑r=1．
△ABF₂面積S=$\frac{1}{2}$×1×（AB+AF₂+BF₂）=2a=4$\sqrt{3}$，
∴ABF₂面積S=$\frac{1}{2}$|y₁-y₂|×2c=$\frac{1}{2}$|y₁-y₂|×2×2$\sqrt{2}$=4$\sqrt{3}$，
∴|y₁-y₂|=$\sqrt{6}$．
故答案為：$\sqrt{6}$．

點(diǎn)評(píng) 本題給出橢圓經(jīng)過(guò)左焦點(diǎn)F₁的弦AB，在已知△ABF₂的內(nèi)切圓的面積情況下，求A、B兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)之差．著重考查了橢圓的定義、三角形內(nèi)切圓的性質(zhì)和三角形的面積公式等知識(shí)，屬于中檔題．