Question

9．圍建一個(gè)面積為300m²的矩形場(chǎng)地，要求矩形場(chǎng)地的一面利用舊墻（舊墻足夠長(zhǎng)，利用舊墻需維修），其他三面圍墻要新建，在舊墻的對(duì)面的新墻上要留一個(gè)寬度為2m的進(jìn)出口，如圖所示，已知舊墻的維修費(fèi)用為75元/m，新墻的造價(jià)為150元/m，設(shè)利用的舊墻的長(zhǎng)度為xm（x＞0）．
（1）將總費(fèi)用y元表示為xm的函數(shù)；
（2）試確定x，使修建此矩形場(chǎng)地圍墻的總費(fèi)用最小，并求最小總費(fèi)用．

Answer 1

分析 （1）設(shè)矩形的另一邊長(zhǎng)為am，然后列出總費(fèi)用y元表示為xm的函數(shù)關(guān)系．
（2）利用（1）函數(shù)的解析式，通過基本不等式求解，修建圍墻的總費(fèi)用的最小值．

解答 （本小題滿12分）
解：（1）設(shè)矩形的另一邊長(zhǎng)為am，
則y=75x+150（x-2）+150•2a=225x+300a-300…（2分）
由已知xa=300，得$a=\frac{300}{x}$…（4分）
∴$y=225x+\frac{90000}{x}-300\;（x＞0）$…（6分）
（2）∵x＞0，∴$225x+\frac{90000}{x}≥2\sqrt{225×90000}=9000$…（8分）
∴$y=225x+\frac{90000}{x}-300\;≥8700$…（10分）
當(dāng)且僅當(dāng)$225x=\frac{90000}{x}$即x=20時(shí)，等號(hào)成立．…（11分）
答：當(dāng)x=20m時(shí)，修建圍墻的總費(fèi)用最小，最小總費(fèi)用是8700元．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查實(shí)際問題的應(yīng)用，函數(shù)的模型的選擇，基本不等式的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．