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18.已知在△ABC中,b(sinB+sinC)=(a-c)(sinA+sinC)(其中角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c)且∠B為鈍角.(1)求角A的大��;
(2)若a=32,求b+c的取值范圍.

分析 (Ⅰ)由已知及正弦定理,余弦定理可求cosA=12,結(jié)合范圍A∈(0,π),可求A的值.
(Ⅱ)由正弦定理可知2R=asinA=1,利用三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡(jiǎn)可求b+c=sinC+π3,又0Cπ3,可得范圍π3<C+π32π3,由正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)可求取值范圍.(另可用均值不等式求解)

解答 解:(Ⅰ)由正弦定理得b(b-c)=(a+c)(a-c),…3分
可得:a2=b2+c2+bc,…4分
又a2=b2+c2-2bccosA,
于是cosA=12,…5分
又A∈(0,π),
A=2π3.…6分
(Ⅱ)∵A=2π3
B+C=π3,且0Cπ3,…7分
由正弦定理可知,2R=asinA=1,…8分
所以b+c=2RsinB+2RsinC=sinB+sinC,…9分
=sinπ3C+sinC=32cosC12sinC+sinC=12sinC+32cosC=sinC+π3,…10分
又0Cπ3,可得:π3<C+π32π3,
b+c=sinC+π3321],…12分
注:用均值不等式求解更易,1a2=b2+c2+bca=32,得:34=b2+c2+bc=b+c2bc,…6分
從而:34=b2+c2+bc=b+c2bcb+c2b+c22,…10分
∴b+c≤1,…11分
b+ca=32,
32b+c1.…12分.

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了正弦定理,余弦定理,三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用,正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì),基本不等式在解三角形中的綜合應(yīng)用,考查了轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想,屬于中檔題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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