Question

（本小題滿分13分）已知函數(shù)，，，,且．

（Ⅰ）當，，時，若方程恰存在兩個相等的實數(shù)根，求實數(shù)的值；

（Ⅱ）求證：方程有兩個不相等的實數(shù)根；

（Ⅲ）若方程的兩個實數(shù)根是，試比較與的大小并說明理由．

Answer 1

（1）或；（2）證明詳見解析；（3）.

【解析】

試題分析：本題主要考查方程的根的問題等基礎知識，考查學生的分析問題解決問題的能力、轉化能力、計算能力.第一問，先將代入到中，將方程轉化為，有2種情況：第一種：是一元二次方程的一個實數(shù)根，第二種：一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根，分別討論求解；第二問，展開表達式，對求導，而方程的恒成立，所以可證得方程有兩個不相等的實數(shù)根；第三問，將代入中，可計算得，而，解不等式即得.

試題解析：（1）當時，.

當時，.

依題意，若方程恰存在兩個相等的實數(shù)根，包括兩種情況：

（ⅰ）若是一元二次方程的一個實數(shù)根，則時，方程可化為，恰存在兩個相等的實數(shù)根0（令一根為3）.

（ⅱ）若一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根，則方程的根的判別式，解得，此時方程恰存在兩個相等的實數(shù)根（另一根為0）.

∴當或時，方程恰存在兩個相等的實數(shù)根.

（2）由，可得，，

∴.

此一元二次方程的判別式，

則.

由，可得，恒成立，

∴方程有兩個不等的實數(shù)根.

（3）∵，

得

即，由，得.

考點：方程的根的問題.