Question

5．已知向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$滿足|$\overrightarrow{a}$|=$\sqrt{5}$，|$\overrightarrow$|=1，且對任意實數x，不等式|$\overrightarrow{a}$+x$\overrightarrow$|≥|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|恒成立，設$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角為θ，則tan2θ=（　�。�

• A． -$\frac{12}{5}$
• B． $\frac{12}{5}$
• C． -$\frac{4}{3}$
• D． $\frac{4}{3}$

Answer 1

分析 由題意，當（$\overrightarrow{a}+\overrightarrow$）$⊥\overrightarrow$時，對于任意實數x，不等式|$\overrightarrow{a}$+x$\overrightarrow$|≥|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|恒成立，此時tanθ=$\frac{1}{2}$，由此能求出tan2θ．

解答 解：由平面向量加法的幾何意義，只有當（$\overrightarrow{a}+\overrightarrow$）$⊥\overrightarrow$時，對于任意實數x，不等式|$\overrightarrow{a}$+x$\overrightarrow$|≥|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|恒成立，如圖所示，
設$\overrightarrow{a}+x\overrightarrow=\overrightarrow{OA}$或$\overrightarrow{a}+x\overrightarrow=\overrightarrow{OB}$，
斜邊大于直角邊恒成立，
則不等式|$\overrightarrow{a}$+x$\overrightarrow$|≥|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|恒成立，
∵向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$滿足|$\overrightarrow{a}$|=$\sqrt{5}$，|$\overrightarrow$|=1，
∴tanθ=-2，
∴tan2θ=$\frac{-4}{1-4}=\frac{4}{3}$．
故選：D．
另：將不等式|$\overrightarrow{a}$+x$\overrightarrow$|≥|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|兩邊平方得到不等式|$\overrightarrow{a}$+x$\overrightarrow$|²≥|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|²，展開整理得得，${x}^{2}+2\sqrt{5}cosθ×x-2\sqrt{5}cosθ-1≥0$恒成立，
所以判別式$△=20co{s}^{2}θ{\;}^{\;}+8\sqrt{5}cosθ+4≤0$，解得cosθ=$-\frac{\sqrt{5}}{5}$，sinθ=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，所以tanθ=-2，tan2θ=$\frac{4}{3}$；
故選D．

點評 本題考查tan2θ的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量知識和數形結合思想的合理運用．