Question

20．設函數f（x）=lnx-ax²（a∈R）．
（1）若函數f（x）有極大值為-$\frac{1}{2}$，求實數a的值；
（2）在（1）的條件下，若有f（m）=f（n），m＜n，證明：m+n＞4a．

Answer 1

分析 （1）求出函數的導數，通過討論a的范圍，求出函數的單調區(qū)間，得到函數的最大值，從而求出a的值即可；
（2）構造函數g（x）=f（x）-f（2-x），0＜x≤1，根據函數的單調性得到f（m）＜f（2-m），又f（m）=f（n），得到f（n）＜f（2-m），從而證出結論即可．

解答 解：（1）∵f（x）=lnx-ax²，x＞0，
∴f′（x）=$\frac{1-2{ax}^{2}}{x}$，
a≤0時，f′（x）＞0恒成立，
函數f（x）在（0，+∞）遞增，無極大值，
a＞0時，f′（x）＞0，0＜x＜$\frac{1}{\sqrt{2a}}$，
由f′（x）＜0，得：x＞$\frac{1}{\sqrt{2a}}$，由f′（x）＞0，得：0＜x＜$\frac{1}{\sqrt{2a}}$，
∴f（x）在（0，$\frac{1}{\sqrt{2a}}$）遞增，在（$\frac{1}{\sqrt{2a}}$，+∞）遞減，
∴f（x）的極大值是f（$\frac{1}{\sqrt{2a}}$）=-$\frac{1}{2}$ln2a-$\frac{1}{2}$=-$\frac{1}{2}$，解得：a=$\frac{1}{2}$；
（2）由（1）得：f（x）=lnx-$\frac{1}{2}$x²在（0，1]遞增，在（1，+∞）遞減，
構造函數g（x）=f（x）-f（2-x），0＜x≤1，
g（x）=lnx-$\frac{1}{2}$x²-[ln（2-x）-$\frac{1}{2}$（2-x）²]，
則g′（x）=$\frac{{2（x-1）}^{2}}{x（2-x）}$≥0，
故函數g（x）在（0，1]遞增，
又f（m）=f（n），m＜n，
∴0＜m＜1，n＞1，
∵g（1）=f（1）-f（2-1）=0，
∴g（m）＜g（1）=0，
即f（m）-f（2-m）＜0，
∴f（m）＜f（2-m），
又f（m）=f（n），∴f（n）＜f（2-m），
∵n＞1，2-m＞1，函數f（x）在（1，+∞）遞減，
∴n＞2-m，即m+n＞2=4a．

點評 本題考查了函數的單調性、極值問題，考查導數的應用以及分類討論思想，不等式的證明，是一道中檔題．