3.已知函數(shù)$f(x)=cos(x+\frac{π}{6})sin(x+\frac{π}{3})-sinxcosx-\frac{1}{4}$.
(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的最小正周期和單調(diào)遞減區(qū)間;
(Ⅱ)在△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若$b=2,f(\frac{A}{2})=0,B=\frac{π}{6}$,求c的值.

分析 (Ⅰ)推導(dǎo)出函數(shù)$f(x)=cos(x+\frac{π}{6})sin(x+\frac{π}{3})-sinxcosx-\frac{1}{4}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin(2x+$\frac{3}{4}π$),由此能求出函數(shù)f(x)的最小正周期和單調(diào)遞減區(qū)間;
(Ⅱ)先求出A=$\frac{π}{4}$,C=$π-\frac{π}{4}-\frac{π}{6}$=$\frac{7π}{12}$,由正弦定理得:$\frac{sinB}=\frac{c}{sinC}$,由此能求出c的值.

解答 解:(Ⅰ)∵函數(shù)$f(x)=cos(x+\frac{π}{6})sin(x+\frac{π}{3})-sinxcosx-\frac{1}{4}$
=(cosxcos$\frac{π}{6}$-sinxsin$\frac{π}{6}$)(sinxcos$\frac{π}{3}$+cosxsin$\frac{π}{3}$)-sinxcosx-$\frac{1}{4}$
=($\frac{\sqrt{3}}{2}cosx$-$\frac{1}{2}sinx$)($\frac{1}{2}sinx+\frac{\sqrt{3}}{2}cosx$)-sinxcosx-$\frac{1}{4}$
=$\frac{3}{4}co{s}^{2}x-\frac{1}{4}si{n}^{2}x$-sinxcosx-$\frac{1}{4}$
=$\frac{3}{8}cos2x+\frac{3}{8}$-$\frac{1}{8}$+$\frac{1}{8}cos2x$-$\frac{1}{2}sin2x$-$\frac{1}{4}$
=-$\frac{1}{2}sin2x$+$\frac{1}{2}sin2x$
=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin(2x+$\frac{3}{4}π$),
∴函數(shù)f(x)的最小正周期T=$\frac{2π}{2}$=π.
由$\frac{π}{2}+2kπ≤2x+\frac{3}{4}π≤\frac{3π}{2}+2kπ$,k∈Z,
得-$\frac{π}{8}+kπ$≤x≤$\frac{3π}{8}$+kπ,k∈Z,
∴單調(diào)遞減區(qū)間為[-$\frac{π}{8}$+kπ,$\frac{3π}{8}+kπ$].k∈Z.
(Ⅱ)由(Ⅰ)得f($\frac{A}{2}$)=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin(A+$\frac{3π}{4}$)=0,
∵0<A<π,∴A=$\frac{π}{4}$,C=$π-\frac{π}{4}-\frac{π}{6}$=$\frac{7π}{12}$,
∴由正弦定理得:$\frac{sinB}=\frac{c}{sinC}$,
∴c=$\frac{bsinC}{sinB}$=$\frac{2sin\frac{7π}{12}}{sin\frac{π}{6}}$=4sin($\frac{π}{4}+\frac{π}{3}$)
=4(sin$\frac{π}{4}$cos$\frac{π}{3}$+cos$\frac{π}{4}$sin$\frac{π}{3}$)
=4($\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{1}{2}$+$\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}$)=$\sqrt{2}+\sqrt{6}$.

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角函數(shù)的最小正周期和單調(diào)減區(qū)間的求法,考查三角形邊長(zhǎng)的求法,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意三角函數(shù)性質(zhì)、正弦定理的合理運(yùn)用.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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觀察下列散點(diǎn)圖,其中兩個(gè)變量的相關(guān)關(guān)系判斷正確的是( )

A.為正相關(guān),為負(fù)相關(guān),為不相關(guān)

B.為負(fù)相關(guān),為不相關(guān),為正相關(guān)

C.為負(fù)相關(guān),為正相關(guān),為不相關(guān)

D.為正相關(guān),為不相關(guān),為負(fù)相關(guān)

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15.已知向量$\overrightarrow a$,$\overrightarrow b$的夾角為60°,且|$\overrightarrow a$|=1,|$\overrightarrow$|=2,則|2$\overrightarrow a$+$\overrightarrow$|=( 。
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12.在△ABC中,|AB|=1,|AC|=$\sqrt{3}$,若|$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$|=|$\overrightarrow{BC}$|,則其形狀為③;若?λ∈R使|λ$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AC}$|≤$\sqrt{2}$成立,則$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$的范圍是$(-\sqrt{3},-1]∪[1,\sqrt{3})$
(①銳角三角形 ②鈍角三角形  ③直角三角形,在橫線上填上序號(hào)).

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18.如圖,四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,PA=AB=1,BC=2,E為PD的中點(diǎn)

(1)求異面直線PA與CE所成角的大。
(2)求三棱錐A-CDE的體積.

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8.某同學(xué)報(bào)名參加“瘋狂的麥咭”的選拔.已知在備選的10道試題中,該同學(xué)能答對(duì)其中的6題,規(guī)定每次考試都從備選題中隨機(jī)抽出3題進(jìn)行測(cè)試(必須3題全部答完),至少答對(duì)2題才能入選.
(Ⅰ)求該同學(xué)答對(duì)試題數(shù)ξ的概率分布列及數(shù)學(xué)期望;
(Ⅱ)設(shè)η為該同學(xué)答對(duì)試題數(shù)與該同學(xué)答錯(cuò)試題數(shù)之差的平方,記“函數(shù)$f(x)=|η-\frac{1}{2}{|^x}$在定義域內(nèi)單調(diào)遞增”為事件C,求事件C的概率.

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15.如圖,在四棱錐P-ABCD中,E為AD上一點(diǎn),面PAD⊥面ABCD,四邊形
BCDE為矩形∠PAD=60°,PB=2$\sqrt{3}$,PA=ED=2AE=2.
(Ⅰ)求證:CB⊥面PEB
(Ⅱ) 已知$\overrightarrow{PF}=λ\overrightarrow{PC}({λ∈R})$,且PA∥面BEF,求λ的值.

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11.如圖,在五棱錐P-ABCDE中,PA⊥平面ABCDE,AB∥CD,AC∥ED,AE∥BC,∠ABC=45°,AB=2$\sqrt{2}$,BC=2AE=4,三角形PAB是等腰三角形.
(1)求證:平面PCD⊥平面PAC;
(2)求直線PB與平面PCD所成角的大。

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10.已知三角形ABC三邊長(zhǎng)分別為x、y、1且x,y∈(0,1),則△ABC為銳角三角形的概率是2-$\frac{π}{2}$.

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