已知動圓過定點(diǎn)，且與直線相切，其中。

（I）求動圓圓心的軌跡的方程；

（II）設(shè)A、B是軌跡上異于原點(diǎn)的兩個不同點(diǎn)，直線和的傾斜角分別為和，當(dāng)變化且為定值時，證明直線恒過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)。

（Ⅰ）（軌跡方程為；（Ⅱ）當(dāng)時，直線恒過定點(diǎn)，當(dāng)時直線恒過定點(diǎn)。


解析:

（I）如圖，設(shè)為動圓圓心，為記為，過點(diǎn)作直線的垂線，垂足為，由題意知：即動點(diǎn)到定點(diǎn)與定直線的距離相等，由拋物線的定義知，點(diǎn)的軌跡為拋物線，其中為焦點(diǎn)，為準(zhǔn)線，所以軌跡方程為；

（II）如圖，設(shè)，由題意得（否則）且所以直線的斜率存在，設(shè)其方程為，顯然，將與聯(lián)立消去，得由韋達(dá)定理知①

（1）當(dāng)時，即時，所以，所以由①知：所以。因此直線的方程可表示為，即，所以直線恒過定點(diǎn)。

（2）當(dāng)時，由，

得==，

將①式代入上式整理化簡可得：，所以，

此時，直線的方程可表示為即，所以直線恒過定點(diǎn)。

所以由（1）（2）知，當(dāng)時，直線恒過定點(diǎn)，當(dāng)時直線恒過定點(diǎn)。

點(diǎn)評：該題是圓與圓錐曲線交匯題目，考察了軌跡問題，屬于難度較大的綜合題目。

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（05年山東卷理）(14分)

已知動圓過定點(diǎn)，且與直線相切，其中.

（I）求動圓圓心的軌跡的方程；

（II）設(shè)A、B是軌跡上異于原點(diǎn)的兩個不同點(diǎn)，直線和的傾斜角分別為和，當(dāng)變化且為定值時，證明直線恒過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知動圓過定點(diǎn)，且與直線相切.

(1) 求動圓的圓心軌跡的方程；

(2) 是否存在直線，使過點(diǎn)（0，1），并與軌跡交于兩點(diǎn)，且滿足？若存在，求出直線的方程；若不存在，說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（本小題滿分13分）已知動圓過定點(diǎn)，且與直線相切.

(1) 求動圓的圓心軌跡的方程；(2) 是否存在直線，使過點(diǎn)（0，1），并與軌跡交于兩點(diǎn)，且滿足？若存在，求出直線的方程；若不存在，說明理由。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知動圓過定點(diǎn)，且與直線相切．

(1) 求動圓的圓心軌跡的方程；

(2) 是否存在直線，使過點(diǎn)，并與軌跡交于兩點(diǎn)，且滿足

？若存在，求出直線的方程；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2012-2013學(xué)年浙江省高三第二次階段性考試數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題

（本小題滿分15分） 已知動圓過定點(diǎn)，且與直線相切，橢圓 的對稱軸為坐標(biāo)軸，一個焦點(diǎn)是，點(diǎn)在橢圓上．

（Ⅰ）求動圓圓心的軌跡的方程及其橢圓的方程；

（Ⅱ）若動直線與軌跡在處的切線平行，且直線與橢圓交于兩點(diǎn)，問：是否存在著這樣的直線使得的面積等于？如果存在，請求出直線的方程；如果不存在，請說明理由．

 

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