Question

4．已知f（x）=sin²x+2$\sqrt{3}sinxcosx-{cos^2}$x．
（1）求f（x）的最大值及取得最大值時(shí)，自變量x的取值集合；
（2）指出函數(shù)y=f（x）的圖象可以由y=sinx的圖象經(jīng)過(guò)哪些變換得到；
（3）當(dāng)x∈[0，t]時(shí)，函數(shù)y=f（x）的值域?yàn)閇-1，2]，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用三角函數(shù)的倍角公式，結(jié)合輔助角公式進(jìn)行化簡(jiǎn)，結(jié)合三角函數(shù)的最值進(jìn)行求解即可．
（2）根據(jù)三角函數(shù)的圖象關(guān)系進(jìn)行變換即可．
（3）根據(jù)三角函數(shù)的單調(diào)性和值域之間的關(guān)系進(jìn)行求解即可．

解答 解：（1）f（x）=sin²x+2$\sqrt{3}sinxcosx-{cos^2}$x=$\sqrt{3}$sin2x-cos2x=2sin（2x-$\frac{π}{6}$），
則f（x）的最大值為2，此時(shí)2x-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$+2kπ，即x=$\frac{π}{3}$+kπ，k∈Z時(shí)取最大值，
即f（x）取得最大值時(shí)，自變量x的取值集合是{x|x=$\frac{π}{3}$+kπ，k∈Z}；
（2）將y=sinx的每一個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的$\frac{1}{2}$倍，得到y(tǒng)=sin2x的圖象，
再將y=sin2x的圖象向右平移$\frac{π}{12}$個(gè)單位長(zhǎng)度，得到y(tǒng)=sin（2x-$\frac{π}{6}$），
然后將函數(shù)的每一個(gè)點(diǎn)的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2倍，即可得到y(tǒng)=2sin（2x-$\frac{π}{6}$）．
（3）當(dāng)x∈[0，t]時(shí)，-$\frac{π}{6}$≤2x-$\frac{π}{6}$≤2t-$\frac{π}{6}$，
由于函數(shù)y=f（x）的值域?yàn)閇-1，2]，
∴$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{6}$≤π+$\frac{π}{6}$，得到$\frac{π}{3}$≤t≤$\frac{2π}{3}$，
即實(shí)數(shù)t的取值范圍是$\frac{π}{3}$≤t≤$\frac{2π}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用輔助角公式結(jié)合三角函數(shù)的倍角公式進(jìn)行化簡(jiǎn)是解決本題的關(guān)鍵．