Question

7．若函數(shù)y=cos²x-asinx+b的最大值為0，最小值為-4，試求a與b的值，并求使y取得最大值和最小值時(shí)的x值．

Answer 1

分析 用配方法整理函數(shù)解析式，根據(jù)sinx的范圍和a的范圍確定函數(shù)的最大和最小值，聯(lián)立方程可求得a和b；然后把a(bǔ)，b的值函數(shù)解析式，進(jìn)而根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)確定y的最大和最小值以及此時(shí)x的值．

解答 解：y=cos²x-asinx+b=-sin²x-asinx+b+1=-（sinx+$\frac{a}{2}$）²+$\frac{{a}^{2}}{4}$+b+1，
令t=sinx，-1≤t≤1，則y=-（t+$\frac{a}{2}$）²+$\frac{{a}^{2}}{4}$+b+1，
（i）當(dāng)$1≤-\frac{a}{2}$，即a≤-2時(shí)，$\left\{\begin{array}{l}{{y}_{min}=f（-1）=a+b=-4}\\{{y}_{max}=f（1）=b-a=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-2}\\{b=-2}\end{array}\right.$，
（ii）當(dāng)$-1＜-\frac{a}{2}≤0$，即0≤a＜2時(shí)，$\left\{\begin{array}{l}{y_{max}}=f（\frac{a}{2}）=\frac{a^2}{4}+b+1=0\\{y_{min}}=f（1）=b-a=-4\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=2}\\{b=-2}\end{array}\right.$（舍去）或$\left\{\begin{array}{l}{a=-6}\\{b=-10}\end{array}\right.$（舍去）
（iii）當(dāng)$0＜-\frac{a}{2}＜1$，即-2＜a＜0時(shí)，$\left\{\begin{array}{l}{y_{max}}=f（\frac{a}{2}）=\frac{a^2}{4}+b+1=0\\{y_{min}}=f（-1）=b+a=-4\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-2}\\{b=-2}\end{array}\right.$（舍）或$\left\{\begin{array}{l}{a=6}\\{b=-10}\end{array}\right.$（舍）
（iv）當(dāng)$-\frac{a}{2}≤-1$，即a≥2時(shí)，$\left\{\begin{array}{l}{{y}_{min}=f（1）=b-a=-4}\\{{y}_{max}=f（-1）=a+b=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=2}\\{b=-2}\end{array}\right.$，
綜上，$\left\{\begin{array}{l}{a=2}\\{b=-2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a=-2}\\{b=-2}\end{array}\right.$．
∴當(dāng)a=2，b=-2時(shí)，f（x）=cos²x-2sinx-2=-（sinx+1）²．
$x=\frac{π}{2}+2kπ（k∈Z）$時(shí)，y取得最小值；$x=-\frac{π}{2}+2kπ（k∈Z）$時(shí)，y取得最大值．
當(dāng)a=-2，b=-2時(shí)，f（x）=cos²x+2sinx-2=-（sinx-1）² ．
$x=-\frac{π}{2}+2kπ（k∈Z）$，y取得最小值；$x=\frac{π}{2}+2kπ（k∈Z）$時(shí)，y取得最大值．

點(diǎn)評 本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，考查利用二次函數(shù)的單調(diào)性求最值，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，是中檔題．