Question

6．為了解今年某省高三畢業(yè)班準備報考飛行員學生的體重情況，現(xiàn)采用隨機抽樣的方法抽取了一個樣本容量為240的樣本，并將所得的數據整理后，畫出了如圖所示的頻率分布直方圖（計算結果用分數表示）．
（1）求a的值，并用該樣本估計全省報考飛行員學生的體重的中位數；
（2）若以樣本數據估計全省的總體數據，且從全省報考飛行員的學生中（人數很多）任選二人，設X表示體重超過60kg的學生人數，求X的分布列和數學期望．

Answer 1

分析 （1）根據頻率和為1，列方程求出a的值，根據中位數兩邊的頻率相等，求出中位數的值；
（2）計算一個報考學生體重超過60公斤的頻率，用頻率表示概率知X服從二項分布，計算對應的概率，寫出隨機變量X的分布列，計算數學期望值．

解答 解：（1）根據頻率和為1，得
（0.025+a+0.075+0.0375+0.0125）×5=1，
解得a=0.05，
0.025×5+0.05×5=0.375＜0.5，
0.375+0.075×5=0.75＞0.5，
∴中位數位于60～65內，
設中位數為x，則（x-60）×0.075+0.375=0.5，
解得x=$\frac{185}{3}$，
∴估計全省報考飛行員學生體重的中位數為$\frac{185}{3}$；
（2）一個報考學生體重超過60公斤的頻率為
（0.075+0.0375+0.0125）×5=$\frac{5}{8}$，
用頻率表示概率知，p=$\frac{5}{8}$；
又X服從二項分布，且
P（X=k）=${C}_{2}^{k}$•${（\frac{5}{8}）}^{k}$•${（1-\frac{5}{8}）}^{2-k}$，k=0，1，2；
∴P（X=0）=${C}_{2}^{0}$•${（\frac{3}{8}）}^{2}$=$\frac{9}{64}$，
P（X=1）=${C}_{2}^{1}$•$\frac{5}{8}$•$\frac{3}{8}$=$\frac{30}{64}$，
P（X=2）=${C}_{2}^{2}$•${（\frac{5}{8}）}^{2}$=$\frac{25}{64}$；
隨機變量X的分布列為：

X	0	1	2
P	$\frac{9}{64}$	$\frac{30}{64}$	$\frac{25}{64}$

則數學期望為EX=0×$\frac{9}{64}$+1×$\frac{30}{64}$+2×$\frac{25}{64}$=$\frac{5}{4}$．
（或EX=2×$\frac{5}{8}$=$\frac{5}{4}$）．

點評 本題考查了頻率分布直方圖以及離散型隨機變量的分布列和數學期望的應用問題，是中檔題．