Question

10．（1）如果a，b都是正數(shù)，且a≠b，求證：$\frac{a}{{\sqrt}}+\frac{{\sqrt{a}}}＞\sqrt{a}+\sqrt$
（2）數(shù)列{a_n}中，已知a_n＞0且（a₁+a₂+…+a_n）²=a₁³+a₂³+…+a_n³，求出a₁，a₂，a₃，并猜想a_n．

Answer 1

分析 （1）利用基本不等式，即可證明結(jié)論；
（2）直接代入a₁³+a₂³+…+a_n³=（a₁+a₂+…+a_n）²計(jì)算即可求出a₁，a₂，a₃，通過a₁³+a₂³+…+a_n³=（a₁+a₂+…+a_n）²與a₁³+a₂³+…+a_n³+a_n+1³=（a₁+a₂+…+a_n+a_n+1）²作差、整理可知a_n+1²=2（a₁+a₂+…+a_n）+a_n+1，將上述等式與a_n²=2（a₁+a₂++a_n-1）+a_n（n≥2）作差、整理可知數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為1、公差為1的等差數(shù)列，計(jì)算即得結(jié)論．

解答 （1）證明：∵a，b都是正數(shù)，且a≠b，
∴$\frac{a}{\sqrt}+\sqrt＞2\sqrt{a}$，$\frac{\sqrt{a}}+\sqrt{a}＞2\sqrt$，
∴$\frac{a}{{\sqrt}}+\frac{{\sqrt{a}}}＞\sqrt{a}+\sqrt$
（2）解：依題意，a₁³=a₁²，
解得：a₁=1或a₁=0（舍）；
又∵a₁³+a₂³=（a₁+a₂）²，即1+a₂³=（1+a₂）²，
∴1+a₂³=1+2a₂+a₂²，
解得：a₂=2或a₂=-1（舍）；
∴a₁、a₂的值分別為1、2；
∵a₁³+a₂³+…+a_n³=（a₁+a₂+…+a_n）²，①
∴a₁³+a₂³+…+a_n³+a_n+1³=（a₁+a₂+…+a_n+a_n+1）²．②
②-①，得a_n+1³=（a₁+a₂+…+a_n+a_n+1）²-（a₁+a₂+…+a_n）²，
整理得：a_n+1³=[2（a₁+a₂+…+a_n）+a_n+1）]a_n+1，
又∵a_n＞0，
∴a_n+1²=2（a₁+a₂+…+a_n）+a_n+1．③
同樣有a_n²=2（a₁+a₂++a_n-1）+a_n（n≥2），④
③-④，得a_n+1²-a_n²=a_n+1+a_n．
∴a_n+1-a_n=1．
由于a₂-a₁=1，即當(dāng)n≥1時(shí)都有a_n+1-a_n=1，
∴數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為1、公差為1的等差數(shù)列，
故數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n=n．

點(diǎn)評 本題考查不等式的證明，考查數(shù)列的通項(xiàng)，考查運(yùn)算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．