Question

2．在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，把橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)都為整數(shù)的點(diǎn)稱為整點(diǎn)．已知區(qū)域D：$\left\{\begin{array}{l}{y≤2x}\\{x+y≤n}\\{y≥0}\end{array}\right.$，其中n∈N^*．記區(qū)域D內(nèi)的整點(diǎn)個(gè)數(shù)為a_n．
（1）求a₁，a₂，a₃的值；
（2）求a_n的表達(dá)式（n≥4，n∈N^*）

Answer 1

分析 （1）區(qū)域D：$\left\{\begin{array}{l}{y≤2x}\\{x+y≤n}\\{y≥0}\end{array}\right.$，其中n∈N^*．記區(qū)域D內(nèi)的整點(diǎn)個(gè)數(shù)為a_n．
n=1時(shí)，區(qū)域D包括（0，0），（0，1）兩個(gè)點(diǎn)，可得a₁=2，
同理可得：a₂=4，a₃=7．
（2）a_n=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{n}^{2}+3n+2}{3}，n=3m+1或n=3m+2}\\{\frac{{n}^{2}+3n+3}{3}，n=3m+3}\end{array}\right.$，m∈N^*．

解答 解：（1）區(qū)域D：$\left\{\begin{array}{l}{y≤2x}\\{x+y≤n}\\{y≥0}\end{array}\right.$，其中n∈N^*．記區(qū)域D內(nèi)的整點(diǎn)個(gè)數(shù)為a_n．
n=1時(shí)，區(qū)域D包括（0，0），（0，1）兩個(gè)點(diǎn)，可得a₁=2，
同理可得：a₂=4，a₃=7．
（2）a_n=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{n}^{2}+3n+2}{3}，n=3m+1或n=3m+2}\\{\frac{{n}^{2}+3n+3}{3}，n=3m+3}\end{array}\right.$，m∈N^*．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式、遞推關(guān)系、作差法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．