Question

17．函數(shù)f（x）=|x-1|+|x+3|+e^x（x∈R）的最小值是4+$\frac{1}{{e}^{3}}$．

Answer 1

分析 去絕對值寫出分段函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)討論x≤-3時的單調(diào)性，由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷x＞-3時的單調(diào)性，否定求出函數(shù)值域得答案．

解答 解：f（x）=|x-1|+|x+3|+e^x=$\left\{\begin{array}{l}{-2x-2+{e}^{x}，（x≤-3）}\\{4+{e}^{x}，（-3＜x＜1）}\\{2x+2+{e}^{x}，（x≥1）}\end{array}\right.$．
當(dāng)x≤-3時，由f（x）=-2x-2+e^x，得f′（x）=-2+e^x，
由f′（x）=-2+e^x=0，得x=ln2．
∴當(dāng)x∈（-∞，-3]時，f′（x）＜0，$f（x）_{min}=f（-3）=4+\frac{1}{{e}^{3}}$；
當(dāng)-3＜x＜1時，函數(shù)f（x）=4+e^x為增函數(shù)，f（x）∈（$4+\frac{1}{{e}^{3}}$，4+e）；
當(dāng)x≥1時，f（x）=2x+2+e^x為增函數(shù)，f（x）_min=f（1）=4+e．
∴函數(shù)f（x）=|x-1|+|x+3|+e^x（x∈R）的最小值是4+$\frac{1}{{e}^{3}}$．
故答案為：4+$\frac{1}{{e}^{3}}$．

點(diǎn)評 本題考查函數(shù)的最值及其幾何意義，考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，訓(xùn)練了分段函數(shù)值域的求法，是中檔題．