Question

已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（|φ|≤

π

2

），該函數(shù)所表示的曲線上的一個(gè)最高點(diǎn)為(2，

2

)，由此最高點(diǎn)到相鄰的最低點(diǎn)間曲線與x軸交于點(diǎn)（6，0）．
（1）求f（x）函數(shù)解析式；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）若x∈[0，8]，求f（x）的值域．

Answer 1

考點(diǎn)：由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式

專題：計(jì)算題,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）依題意知A=

2

，T=16，依次可求得ω，又6×

π

8

+φ=2kπ+π（k∈Z），|φ|≤

π

2

，可求得φ，從而得f（x）函數(shù)解析式；
（2）利用正弦函數(shù)的單調(diào)性即可求得函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）當(dāng)x∈[0，8]時(shí)，

π

8

x+

π

4

∈[

π

4

，

5π

4

]，sin（

π

8

x+

π

4

）∈[-

2

2

，1]，于是可求其值域．

解答： 解：（1）依題意知，A=

2

，T=4（6-2）=16，令ω＞0，
則ω=

2π

T

=

π

8

，
又6×

π

8

+φ=2kπ+π（k∈Z），
∴φ=2kπ+

3π

4

（k∈Z），又|φ|≤

π

2

，
∴φ=

π

4

，
∴f（x）=

2

sin（

π

8

x+

π

4

）；
（2）由-

π

2

+2kπ≤

π

8

x+

π

4

≤-

π

2

+2kπ（k∈Z）得：16k-6≤x≤16k+2（k∈Z）
∴f（x）=

2

sin（

π

8

x+

π

4

）的單調(diào)遞增區(qū)間為[16k-6，16k+2]（k∈Z）；
由

π

2

+2kπ≤

π

8

x+

π

4

≤

3π

2

+2kπ（k∈Z）得：16k+2≤x≤16k+10（k∈Z）
∴f（x）=

2

sin（

π

8

x+

π

4

）的單調(diào)遞減區(qū)間為[16k+2，16k+10]（k∈Z）；
（3）∵x∈[0，8]，
∴

π

8

x+

π

4

∈[

π

4

，

5π

4

]，
∴sin（

π

8

x+

π

4

）∈[-

2

2

，1]，

2

sin（

π

8

x+

π

4

）∈[-1，

2

]．
∴當(dāng)x∈[0，8]時(shí)，f（x）的值域?yàn)閇-1，

2

]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式，考查正弦函數(shù)的單調(diào)性與值域，考查綜合運(yùn)算能力與求解能力，屬于中檔題．