Question

已知圓O的半徑為R，由直徑AB的端點(diǎn)B作圓的切線，從圓周上任意一點(diǎn)P引該線的垂線，垂足為M，連接AP，記AP=x．（1）寫出AP+2PM關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式．
（2）求該函數(shù)的值域．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)解析式的求解及常用方法,函數(shù)的值域

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）連接PB，證明△PMB∽△PAB，得PM：PB=PB：AB，求出PM的表達(dá)式，從而得AP+2PM的函數(shù)關(guān)系式；
（2）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，求出函數(shù)在某一區(qū)間上的值域即可．

解答： 解：（1）如圖所示，連接PB，
∵∠PBM=∠A，∠M=∠APB=90°，
∴△PMB∽△BPA；
∴PM：PB=PB：AB，
∴PM=

PB2

AB

=

(2R)2-x2

2R

，
∴AP+2PM=x+

4R2-x2

R

=-

1

R

x²+x+4R（0＜x＜2R）；
（2）∵函數(shù)y═-

1

R

x²+x+4R（0＜x＜2R）是二次函數(shù)，且a=-

1

R

＜0，
∴函數(shù)y在x=

R

2

時取得最大值y_最大值=

17R

4

，
在x=0時，y=4R，x=2R時，y=2R；
∴函數(shù)y=-

1

R

x²+x+4R（0＜x＜2R）的值域是（2R，

17R

4

]．

點(diǎn)評：本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)、圓中直徑所對的圓周角等于90°以及求二次函數(shù)的值域問題，是綜合題．