Question

1．設(shè)函數(shù)f（x）=|x+$\frac{1}{a}$|+|x-a+1|（a＞0是常數(shù)）．
（Ⅰ）證明：f（x）≥1；
（Ⅱ）若f（3）＜$\frac{11}{2}$，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用絕對(duì)值不等式證明即可．
（Ⅱ）將x=3帶入，可得f（3）=|3+$\frac{1}{a}$|+|3-a+1|$＜\frac{11}{2}$，去絕對(duì)值，即可得答案．

解答 解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）=|x+$\frac{1}{a}$|+|x-a+1|≥|$x+\frac{1}{a}-x+a-1$|=|$\frac{1}{a}+a-1$|
∵a＞0，
∴$\frac{1}{a}+a≥2$，當(dāng)且僅當(dāng)a=1時(shí)取等號(hào)．
∴$\frac{1}{a}+a-1$≥1
故得：函數(shù)f（x）=|$\frac{1}{a}+a-1$|≥1，即f（x）≥1；
（Ⅱ）當(dāng)x=3時(shí)，可得f（3）=|3+$\frac{1}{a}$|+|3-a+1|$＜\frac{11}{2}$，
∵a＞0，
可得：3+$\frac{1}{a}$+|4-a|$＜\frac{11}{2}$
?|4-a|＜$\frac{5}{2}-\frac{1}{a}$，
∴$\frac{5}{2}-\frac{1}{a}＞0$，且$\frac{1}{a}-\frac{5}{2}＜4-a＜\frac{5}{2}-\frac{1}{a}$，
解得：$2＜a＜\frac{13+3\sqrt{17}}{4}$
故得a的取值范圍是（2，$\frac{13+3\sqrt{17}}{4}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了絕對(duì)值不等式的解法和絕對(duì)值不等式的證明．屬于中檔題．