Question

3．設函數(shù)f（x）=x³-3ax+b（a≠0），求函數(shù)f（x）的單調區(qū)間與極值點．

Answer 1

分析 求出函數(shù)的導數(shù)，通過a大于0與小于0，判斷函數(shù)的導數(shù)的符號得到函數(shù)的單調性與極值．

解答 解：f′（x）=3（x²-a）（a≠0）．
當a＜0時，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）在（-∞，+∞）上單調遞增；此時函數(shù)f（x）沒有極值點．
當a＞0時，由f′（x）=0得x=±$\sqrt{a}$．
當x∈（-∞，-$\sqrt{a}$）時，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）單調遞增；
當x∈（-$\sqrt{a}$，$\sqrt{a}$）時，f′（x）＜0，函數(shù)f（x）單調遞減；
當x∈（$\sqrt{a}$，+∞）時，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）單調遞增．
此時x=-$\sqrt{a}$是f（x）的極大值點，x=$\sqrt{a}$是f（x）的極小值點．

點評 本題考查函數(shù)的導數(shù)的應用，考查分類討論思想以及轉化思想的應用，考查函數(shù)的單調性與函數(shù)的極值的求法，考查計算能力．