Question

設(shè)F₁，F(xiàn)₂分別是橢圓D：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)，過(guò)F₂作傾斜角為

π

3

的直線交橢圓D于A，B兩點(diǎn)，F(xiàn)₁到直線AB的距離為3，連接橢圓D的四個(gè)頂點(diǎn)得到的菱形面積為4．
（Ⅰ）求橢圓D的方程；
（Ⅱ）已知點(diǎn)M（-1，0），設(shè)E是橢圓D上的一點(diǎn)，過(guò)E、M兩點(diǎn)的直線l交y軸于點(diǎn)C，若

CE

=λ

EM

，求λ的取值范圍；
（Ⅲ）作直線l₁與橢圓D交于不同的兩點(diǎn)P，Q，其中P點(diǎn)的坐標(biāo)為（-2，0），若點(diǎn)N（0，t）是線段PQ垂直平分線上一點(diǎn)，且滿(mǎn)足

NP

•

NQ

=4，求實(shí)數(shù)t的值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題

專(zhuān)題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）AB的方程為：y=

3

(x-c)，由F₁到直線AB的距離為3，可求c，結(jié)合連接橢圓D的四個(gè)頂點(diǎn)得到的菱形面積為4，即可求出求橢圓D的方程；
（Ⅱ）由

CE

=λ

EM

，可得e的坐標(biāo)，代入橢圓方程，即可求λ的取值范圍；
（Ⅲ）分類(lèi)討論，寫(xiě)出線段PQ垂直平分線方程，利用

NP

•

NQ

=4，結(jié)合韋達(dá)定理，即可求實(shí)數(shù)t的值．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)F₁，F(xiàn)₂的坐標(biāo)分別為（-c，0），（c，0），其中c＞0
由題意得AB的方程為：y=

3

(x-c)
∵F₁到直線AB的距離為3，
∴有

|- 3 c- 3 c|

3+1

=3，解得c=

3

…（2分）
∴a²-b²=c²=3…①
由題意知：

1

2

×2a×2b=4，即ab=2…②
聯(lián)立①②解得：a=2，b=1，
∴所求橢圓D的方程為

x2

4

+y2=1…（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知橢圓D的方程為

x2

4

+y2=1
設(shè)E（x₁，y₁），C（0，m），
∵

CE

=λ

EM

，∴（x₁，y₁-m）=λ（-1-x₁，-y₁），
∴x1=-

λ

1+λ

，y1=

m

1+λ

…（7分）
又E是橢圓D上的一點(diǎn)，則

(- λ 1+λ )2

4

+(

m

1+λ

)2=1
∴m2=

(3λ+2)(λ+2)

4

≥0
解得：λ≥-

2

3

或λ≤-2…（9分）
（Ⅲ）由P（-2，0），設(shè)Q（x₁，y₁）
根據(jù)題意可知直線l₁的斜率存在，可設(shè)直線斜率為k，則直線l₁的方程為y=k（x+2）
把它代入橢圓D的方程，消去y，整理得：（1+4k²）x²+16k²x+（16k²-4）=0
由韋達(dá)定理得-2+x1=-

16k2

1+4k2

，則x1=

2-8k2

1+4k2

，y₁=k（x₁+2）=

4k

1+4k2

∴線段PQ的中點(diǎn)坐標(biāo)為(-

8k2

1+4k2

，

2k

1+4k2

)
（1）當(dāng)k=0時(shí)，則有Q（2，0），線段PQ垂直平分線為y軸
于是

NP

=(-2，-t)，

NQ

=(2，-t)
由

NP

•

NQ

=-4+t2=4，解得：t=±2

2

…（11分）
（2）當(dāng)k≠0時(shí)，則線段PQ垂直平分線的方程為y-

2k

1+4k2

=-

1

k

(x+

8k2

1+4k2

)
由點(diǎn)N（0，t）是線段PQ垂直平分線的一點(diǎn)，令x=0，得：t=-

6k

1+4k2

于是

NP

=(-2，-t)，

NQ

=(x1，y1-t)
由

NP

•

NQ

=-2x1-t(y1-t)=

4(16k4+15k2-1)

(1+4k2)2

=4，解得：k=±

14

7

代入t=-

6k

1+4k2

，解得：t=±

2 14

5

綜上，滿(mǎn)足條件的實(shí)數(shù)t的值為t=±2

2

或t=±

2 14

5

．…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查向量知識(shí)的運(yùn)用，考查分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．